Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgninv 19150
 Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s
psgninv.n pmSgn
psgninv.p
Assertion
Ref Expression
psgninv

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5
2 psgninv.n . . . . 5 pmSgn
3 eqid 2451 . . . . 5 mulGrpflds mulGrpflds
41, 2, 3psgnghm2 19149 . . . 4 mulGrpflds
5 psgninv.p . . . . 5
6 eqid 2451 . . . . 5
7 eqid 2451 . . . . 5 mulGrpflds mulGrpflds
85, 6, 7ghminv 16890 . . . 4 mulGrpflds mulGrpflds
94, 8sylan 474 . . 3 mulGrpflds
101, 5, 6symginv 17043 . . . . 5
1110adantl 468 . . . 4
1211fveq2d 5869 . . 3
13 eqid 2451 . . . . . 6 mulGrpflds mulGrpflds
1413cnmsgnsubg 19145 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds
153cnmsgnbas 19146 . . . . . . . 8 mulGrpflds
165, 15ghmf 16887 . . . . . . 7 mulGrpflds
174, 16syl 17 . . . . . 6
1817ffvelrnda 6022 . . . . 5
19 cnex 9620 . . . . . . . . 9
20 difss 3560 . . . . . . . . 9
2119, 20ssexi 4548 . . . . . . . 8
22 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10
23 ax-1ne0 9608 . . . . . . . . . 10
24 eldifsn 4097 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24mpbir2an 931 . . . . . . . . 9
26 neg1cn 10713 . . . . . . . . . 10
27 neg1ne0 10715 . . . . . . . . . 10
28 eldifsn 4097 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 28mpbir2an 931 . . . . . . . . 9
30 prssi 4128 . . . . . . . . 9
3125, 29, 30mp2an 678 . . . . . . . 8
32 ressabs 15188 . . . . . . . 8 mulGrpflds s mulGrpflds
3321, 31, 32mp2an 678 . . . . . . 7 mulGrpflds s mulGrpflds
3433eqcomi 2460 . . . . . 6 mulGrpflds mulGrpflds s
35 cnfldbas 18974 . . . . . . . 8 fld
36 cnfld0 18992 . . . . . . . 8 fld
37 cndrng 18997 . . . . . . . 8 fld
3835, 36, 37drngui 17981 . . . . . . 7 Unitfld
39 eqid 2451 . . . . . . 7 fld fld
4038, 13, 39invrfval 17901 . . . . . 6 fld mulGrpflds
4134, 40, 7subginv 16824 . . . . 5 SubGrpmulGrpflds fld mulGrpflds
4214, 18, 41sylancr 669 . . . 4 fld mulGrpflds
4331, 18sseldi 3430 . . . . . 6
44 eldifsn 4097 . . . . . 6
4543, 44sylib 200 . . . . 5
46 cnfldinv 18999 . . . . 5 fld
4745, 46syl 17 . . . 4 fld
4842, 47eqtr3d 2487 . . 3 mulGrpflds
499, 12, 483eqtr3d 2493 . 2
50 fvex 5875 . . . . 5
5150elpr 3986 . . . 4
52 1div1e1 10300 . . . . . 6
53 oveq2 6298 . . . . . 6
54 id 22 . . . . . 6
5552, 53, 543eqtr4a 2511 . . . . 5
56 divneg2 10331 . . . . . . . 8
5722, 22, 23, 56mp3an 1364 . . . . . . 7
5852negeqi 9868 . . . . . . 7
5957, 58eqtr3i 2475 . . . . . 6
60 oveq2 6298 . . . . . 6
61 id 22 . . . . . 6
6259, 60, 613eqtr4a 2511 . . . . 5
6355, 62jaoi 381 . . . 4
6451, 63sylbi 199 . . 3
6518, 64syl 17 . 2
6649, 65eqtrd 2485 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  csn 3968  cpr 3970  ccnv 4833  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc 9537  cc0 9539  c1 9540  cneg 9861   cdiv 10269  cbs 15121   ↾s cress 15122  cminusg 16670  SubGrpcsubg 16811   cghm 16880  csymg 17018  pmSgncpsgn 17130  mulGrpcmgp 17723  cinvr 17899  ℂfldccnfld 18970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-xor 1406  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-concat 12666  df-s1 12667  df-substr 12668  df-splice 12669  df-reverse 12670  df-s2 12944  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-oppg 16997  df-symg 17019  df-pmtr 17083  df-psgn 17132  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-cnfld 18971 This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  19153  evpmodpmf1o  19164  madjusmdetlem4  28656
 Copyright terms: Public domain W3C validator