MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Unicode version

Theorem psgninv 18808
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgninv.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgninv.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psgninv  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgninv.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 18807 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
5 psgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  S
)
6 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
85, 6, 7ghminv 16490 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( S 
GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( N `  ( ( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
94, 8sylan 469 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
101, 5, 6symginv 16643 . . . . 5  |-  ( F  e.  P  ->  (
( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1211fveq2d 5809 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( N `  `' F
) )
13 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 18803 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
153cnmsgnbas 18804 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
165, 15ghmf 16487 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
174, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
1817ffvelrnda 5965 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
19 cnex 9523 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
20 difss 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
2119, 20ssexi 4538 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
22 ax-1cn 9500 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 9511 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
24 eldifsn 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
2522, 23, 24mpbir2an 921 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
26 neg1cn 10600 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
27 neg1ne0 10602 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
28 eldifsn 4096 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 921 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } )
30 prssi 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
3125, 29, 30mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } )
32 ressabs 14799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
3321, 31, 32mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
3433eqcomi 2415 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )
35 cnfldbas 18636 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
36 cnfld0 18654 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g ` fld )
37 cndrng 18659 . . . . . . . 8  |-fld  e.  DivRing
3835, 36, 37drngui 17614 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
39 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
4038, 13, 39invrfval 17534 . . . . . 6  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
4134, 40, 7subginv 16424 . . . . 5  |-  ( ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4214, 18, 41sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4331, 18sseldi 3439 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
44 eldifsn 4096 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
46 cnfldinv 18661 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  CC  /\  ( N `  F )  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4842, 47eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) )  =  ( 1  /  ( N `  F )
) )
499, 12, 483eqtr3d 2451 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( 1  /  ( N `
 F ) ) )
50 fvex 5815 . . . . 5  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
5150elpr 3989 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
52 1div1e1 10198 . . . . . 6  |-  ( 1  /  1 )  =  1
53 oveq2 6242 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
54 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( N `  F )  =  1 )
5552, 53, 543eqtr4a 2469 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
56 divneg2 10229 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
5722, 22, 23, 56mp3an 1326 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
5852negeqi 9769 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
5957, 58eqtr3i 2433 . . . . . 6  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
60 oveq2 6242 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
61 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
6259, 60, 613eqtr4a 2469 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6355, 62jaoi 377 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
)  ->  ( 1  /  ( N `  F ) )  =  ( N `  F
) )
6451, 63sylbi 195 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( 1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6518, 64syl 17 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( 1  /  ( N `  F )
)  =  ( N `
 F ) )
6649, 65eqtrd 2443 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   {csn 3971   {cpr 3973   `'ccnv 4941   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   CCcc 9440   0cc0 9442   1c1 9443   -ucneg 9762    / cdiv 10167   Basecbs 14733   ↾s cress 14734   invgcminusg 16270  SubGrpcsubg 16411    GrpHom cghm 16480   SymGrpcsymg 16618  pmSgncpsgn 16730  mulGrpcmgp 17353   invrcinvr 17532  ℂfldccnfld 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-word 12498  df-lsw 12499  df-concat 12500  df-s1 12501  df-substr 12502  df-splice 12503  df-reverse 12504  df-s2 12776  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-oppg 16597  df-symg 16619  df-pmtr 16683  df-psgn 16732  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-drng 17610  df-cnfld 18633
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  18811  evpmodpmf1o  18822
  Copyright terms: Public domain W3C validator