MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Unicode version

Theorem psgninv 18382
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgninv.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgninv.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psgninv  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgninv.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 18381 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
5 psgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  S
)
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
85, 6, 7ghminv 16066 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( S 
GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( N `  ( ( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
94, 8sylan 471 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
101, 5, 6symginv 16219 . . . . 5  |-  ( F  e.  P  ->  (
( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1211fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( N `  `' F
) )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 18377 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
153cnmsgnbas 18378 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
165, 15ghmf 16063 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
174, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
1817ffvelrnda 6019 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
19 cnex 9569 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
20 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
2119, 20ssexi 4592 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
22 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 9557 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
24 eldifsn 4152 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
2522, 23, 24mpbir2an 918 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
26 neg1cn 10635 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2722, 23negne0i 9890 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
28 eldifsn 4152 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 918 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } )
30 prssi 4183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
3125, 29, 30mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } )
32 ressabs 14546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
3321, 31, 32mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
3433eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )
35 cnfldbas 18192 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
36 cnfld0 18210 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g ` fld )
37 cndrng 18215 . . . . . . . 8  |-fld  e.  DivRing
3835, 36, 37drngui 17182 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
39 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
4038, 13, 39invrfval 17103 . . . . . 6  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
4134, 40, 7subginv 16000 . . . . 5  |-  ( ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4214, 18, 41sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4331, 18sseldi 3502 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
44 eldifsn 4152 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
46 cnfldinv 18217 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  CC  /\  ( N `  F )  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4745, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4842, 47eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) )  =  ( 1  /  ( N `  F )
) )
499, 12, 483eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( 1  /  ( N `
 F ) ) )
50 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
5150elpr 4045 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
5222div1i 10268 . . . . . 6  |-  ( 1  /  1 )  =  1
53 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
54 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( N `  F )  =  1 )
5552, 53, 543eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
56 divneg2 10264 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
5722, 22, 23, 56mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
5852negeqi 9809 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
5957, 58eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
60 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
61 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
6259, 60, 613eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6355, 62jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
)  ->  ( 1  /  ( N `  F ) )  =  ( N `  F
) )
6451, 63sylbi 195 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( 1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6518, 64syl 16 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( 1  /  ( N `  F )
)  =  ( N `
 F ) )
6649, 65eqtrd 2508 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   `'ccnv 4998   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489   -ucneg 9802    / cdiv 10202   Basecbs 14483   ↾s cress 14484   invgcminusg 15721  SubGrpcsubg 15987    GrpHom cghm 16056   SymGrpcsymg 16194  pmSgncpsgn 16307  mulGrpcmgp 16928   invrcinvr 17101  ℂfldccnfld 18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-s1 12505  df-substr 12506  df-splice 12507  df-reverse 12508  df-s2 12770  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-gim 16099  df-oppg 16173  df-symg 16195  df-pmtr 16260  df-psgn 16309  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-cnfld 18189
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  18385  evpmodpmf1o  18396
  Copyright terms: Public domain W3C validator