MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgninv 19150
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgninv.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgninv.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psgninv  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgninv.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 19149 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
5 psgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  S
)
6 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
7 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
85, 6, 7ghminv 16890 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( S 
GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( N `  ( ( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
94, 8sylan 474 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
101, 5, 6symginv 17043 . . . . 5  |-  ( F  e.  P  ->  (
( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1110adantl 468 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1211fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( N `  `' F
) )
13 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 19145 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
153cnmsgnbas 19146 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
165, 15ghmf 16887 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
174, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
1817ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
19 cnex 9620 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
20 difss 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
2119, 20ssexi 4548 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
22 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 9608 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
24 eldifsn 4097 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
2522, 23, 24mpbir2an 931 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
26 neg1cn 10713 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
27 neg1ne0 10715 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
28 eldifsn 4097 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 931 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } )
30 prssi 4128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
3125, 29, 30mp2an 678 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } )
32 ressabs 15188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
3321, 31, 32mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
3433eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )
35 cnfldbas 18974 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
36 cnfld0 18992 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g ` fld )
37 cndrng 18997 . . . . . . . 8  |-fld  e.  DivRing
3835, 36, 37drngui 17981 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
39 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
4038, 13, 39invrfval 17901 . . . . . 6  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
4134, 40, 7subginv 16824 . . . . 5  |-  ( ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4214, 18, 41sylancr 669 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4331, 18sseldi 3430 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
44 eldifsn 4097 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
4543, 44sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
46 cnfldinv 18999 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  CC  /\  ( N `  F )  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4842, 47eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) )  =  ( 1  /  ( N `  F )
) )
499, 12, 483eqtr3d 2493 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( 1  /  ( N `
 F ) ) )
50 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
5150elpr 3986 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
52 1div1e1 10300 . . . . . 6  |-  ( 1  /  1 )  =  1
53 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
54 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( N `  F )  =  1 )
5552, 53, 543eqtr4a 2511 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
56 divneg2 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
5722, 22, 23, 56mp3an 1364 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
5852negeqi 9868 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
5957, 58eqtr3i 2475 . . . . . 6  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
60 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
61 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
6259, 60, 613eqtr4a 2511 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6355, 62jaoi 381 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
)  ->  ( 1  /  ( N `  F ) )  =  ( N `  F
) )
6451, 63sylbi 199 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( 1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6518, 64syl 17 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( 1  /  ( N `  F )
)  =  ( N `
 F ) )
6649, 65eqtrd 2485 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   `'ccnv 4833   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540   -ucneg 9861    / cdiv 10269   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   invgcminusg 16670  SubGrpcsubg 16811    GrpHom cghm 16880   SymGrpcsymg 17018  pmSgncpsgn 17130  mulGrpcmgp 17723   invrcinvr 17899  ℂfldccnfld 18970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-xor 1406  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-concat 12666  df-s1 12667  df-substr 12668  df-splice 12669  df-reverse 12670  df-s2 12944  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-oppg 16997  df-symg 17019  df-pmtr 17083  df-psgn 17132  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-cnfld 18971
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  19153  evpmodpmf1o  19164  madjusmdetlem4  28656
  Copyright terms: Public domain W3C validator