MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Unicode version

Theorem psgninv 18012
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgninv.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgninv.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psgninv  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgninv.n . . . . 5  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
41, 2, 3psgnghm2 18011 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
5 psgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  S
)
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  S )  =  ( invg `  S )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
85, 6, 7ghminv 15754 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( S 
GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P
)  ->  ( N `  ( ( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
94, 8sylan 471 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
101, 5, 6symginv 15907 . . . . 5  |-  ( F  e.  P  ->  (
( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  S ) `  F
)  =  `' F
)
1211fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  (
( invg `  S ) `  F
) )  =  ( N `  `' F
) )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
1413cnmsgnsubg 18007 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
153cnmsgnbas 18008 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) )
165, 15ghmf 15751 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> { 1 ,  -u
1 } )
174, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> { 1 , 
-u 1 } )
1817ffvelrnda 5843 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  { 1 ,  -u 1 } )
19 cnex 9363 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
20 difss 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
2119, 20ssexi 4437 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
22 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
23 ax-1ne0 9351 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
24 eldifsn 4000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
2522, 23, 24mpbir2an 911 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
26 neg1cn 10425 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
2722, 23negne0i 9683 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
28 eldifsn 4000 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 911 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } )
30 prssi 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  -u 1  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  { 1 , 
-u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
3125, 29, 30mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } )
32 ressabs 14236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e. 
_V  /\  { 1 ,  -u 1 }  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
3321, 31, 32mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
3433eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )s  { 1 ,  -u
1 } )
35 cnfldbas 17822 . . . . . . . 8  |-  CC  =  ( Base ` fld )
36 cnfld0 17840 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g ` fld )
37 cndrng 17845 . . . . . . . 8  |-fld  e.  DivRing
3835, 36, 37drngui 16838 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
39 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
4038, 13, 39invrfval 16765 . . . . . 6  |-  ( invr ` fld )  =  ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
4134, 40, 7subginv 15688 . . . . 5  |-  ( ( { 1 ,  -u
1 }  e.  (SubGrp `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( N `  F )  e.  { 1 ,  -u
1 } )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4214, 18, 41sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) ) )
4331, 18sseldi 3354 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  F
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
44 eldifsn 4000 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( N `  F )  e.  CC  /\  ( N `  F
)  =/=  0 ) )
46 cnfldinv 17847 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  CC  /\  ( N `  F )  =/=  0 )  -> 
( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4745, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
( N `  F
) ) )
4842, 47eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( ( invg `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) `
 ( N `  F ) )  =  ( 1  /  ( N `  F )
) )
499, 12, 483eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( 1  /  ( N `
 F ) ) )
50 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( N `
 F )  e. 
_V
5150elpr 3895 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  <->  ( ( N `  F )  =  1  \/  ( N `  F )  =  -u 1 ) )
5222div1i 10059 . . . . . 6  |-  ( 1  /  1 )  =  1
53 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
54 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  ( N `  F )  =  1 )
5552, 53, 543eqtr4a 2501 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
56 divneg2 10055 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
5722, 22, 23, 56mp3an 1314 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
5852negeqi 9603 . . . . . . 7  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
5957, 58eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
60 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
61 id 22 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  ( N `  F )  =  -u 1 )
6259, 60, 613eqtr4a 2501 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  =  -u 1  ->  (
1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6355, 62jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  =  1  \/  ( N `  F
)  =  -u 1
)  ->  ( 1  /  ( N `  F ) )  =  ( N `  F
) )
6451, 63sylbi 195 . . 3  |-  ( ( N `  F )  e.  { 1 , 
-u 1 }  ->  ( 1  /  ( N `
 F ) )  =  ( N `  F ) )
6518, 64syl 16 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( 1  /  ( N `  F )
)  =  ( N `
 F ) )
6649, 65eqtrd 2475 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P )  ->  ( N `  `' F )  =  ( N `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   {cpr 3879   `'ccnv 4839   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283   -ucneg 9596    / cdiv 9993   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   invgcminusg 15411  SubGrpcsubg 15675    GrpHom cghm 15744   SymGrpcsymg 15882  pmSgncpsgn 15995  mulGrpcmgp 16591   invrcinvr 16763  ℂfldccnfld 17818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-splice 12234  df-reverse 12235  df-s2 12475  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-oppg 15861  df-symg 15883  df-pmtr 15948  df-psgn 15997  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-cnfld 17819
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  18015  evpmodpmf1o  18026
  Copyright terms: Public domain W3C validator