MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Unicode version

Theorem psgnghm2 18011
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgnghm2.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgnghm2.u  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
Assertion
Ref Expression
psgnghm2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgnghm2.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( Ss  dom 
N )  =  ( Ss 
dom  N )
4 psgnghm2.u . . 3  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
51, 2, 3, 4psgnghm 18010 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( ( Ss  dom  N
)  GrpHom  U ) )
6 difss 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 5039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
101, 9elsymgbas2 15886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  ( x  e.  ( Base `  S
)  <->  x : D -1-1-onto-> D
) )
1110ibi 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  x : D
-1-1-onto-> D )
12 f1odm 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  x  =  D )
148, 13syl5sseq 3404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Base `  S
)  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  D )
15 ssfi 7533 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1614, 15sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  ( Base `  S ) )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( Base `  S
) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
18 rabid2 2898 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  ( Base `  S ) dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1917, 18sylibr 212 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
20 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
211, 9, 20, 2psgnfn 16007 . . . . . 6  |-  N  Fn  { x  e.  ( Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
22 fndm 5510 . . . . . 6  |-  ( N  Fn  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  ->  dom  N  =  { x  e.  ( Base `  S
)  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  N  =  { x  e.  (
Base `  S )  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }
2419, 23syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Base `  S )  =  dom  N )
25 eqimss 3408 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  =  dom  N  ->  ( Base `  S )  C_  dom  N )
26 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  D )  e.  _V
271, 26eqeltri 2513 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
28 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
292, 28eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  N  e. 
_V
3029dmex 6511 . . . . 5  |-  dom  N  e.  _V
313, 9ressid2 14226 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  S
)  C_  dom  N  /\  S  e.  _V  /\  dom  N  e.  _V )  -> 
( Ss  dom  N )  =  S )
3227, 30, 31mp3an23 1306 . . . 4  |-  ( (
Base `  S )  C_ 
dom  N  ->  ( Ss  dom 
N )  =  S )
3324, 25, 323syl 20 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( Ss  dom  N )  =  S )
3433oveq1d 6106 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  (
( Ss  dom  N )  GrpHom  U )  =  ( S 
GrpHom  U ) )
355, 34eleqtrd 2519 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {cpr 3879    _I cid 4631   dom cdm 4840    Fn wfn 5413   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   -ucneg 9596   Basecbs 14174   ↾s cress 14175    GrpHom cghm 15744   SymGrpcsymg 15882  pmSgncpsgn 15995  mulGrpcmgp 16591  ℂfldccnfld 17818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-splice 12234  df-reverse 12235  df-s2 12475  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-gim 15787  df-oppg 15861  df-symg 15883  df-pmtr 15948  df-psgn 15997  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-cnfld 17819
This theorem is referenced by:  psgninv  18012  psgnco  18013  zrhpsgnmhm  18014  zrhpsgninv  18015  psgnevpmb  18017  psgnodpm  18018  zrhpsgnevpm  18021  zrhpsgnodpm  18022  evpmodpmf1o  18026  mdetralt  18414
  Copyright terms: Public domain W3C validator