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Theorem psgnfzto1stlem 28613
Description: Lemma for psgnfzto1st 28618. Our permutation of rank  (
n  +  1 ) can be written as a permutation of rank  n composed with a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnfzto1st.d  |-  D  =  ( 1 ... N
)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1stlem  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, K
Allowed substitution hint:    N( i)

Proof of Theorem psgnfzto1stlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6318 . . . . 5  |-  ( K  +  1 )  e. 
_V
2 ovex 6318 . . . . . 6  |-  ( i  -  1 )  e. 
_V
3 vex 3048 . . . . . 6  |-  i  e. 
_V
42, 3ifex 3949 . . . . 5  |-  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i )  e.  _V
51, 4ifex 3949 . . . 4  |-  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  _V
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
75, 6fnmpti 5706 . . 3  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D
87a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
9 psgnfzto1st.d . . . . 5  |-  D  =  ( 1 ... N
)
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
119, 10pmtrto1cl 28612 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  e.  ran  (pmTrsp `  D ) )
12 eqid 2451 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (pmTrsp `  D )
1310, 12pmtrff1o 17104 . . . 4  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  e.  ran  (pmTrsp `  D )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) : D -1-1-onto-> D )
14 f1ofn 5815 . . . 4  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  Fn  D )
1511, 13, 143syl 18 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  Fn  D )
16 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  -> 
i  =  1 )
1716iftrued 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  K )
18 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  NN )
1918nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  RR )
20 fz1ssnn 11830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
219eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  <->  ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N
) )
2221biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  ->  ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2322adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2420, 23sseldi 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  NN )
2524nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  RR )
26 elfz1b 11864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( K  +  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  <_  N ) )
2726simp2bi 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  ->  N  e.  NN )
2928adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  NN )
3029nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  RR )
3119lep1d 10538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
32 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  +  1 )  <_  N )
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  <_  N
)
3419, 25, 30, 31, 33letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <_  N
)
3529nnzd 11039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  ZZ )
36 fznn 11863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  e.  NN  /\  K  <_  N ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( K  e.  NN  /\  K  <_  N ) ) )
3818, 34, 37mpbir2and 933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
3938, 9syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  D
)
4039ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  K  e.  D )
4117, 40eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D
)
42 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  -.  i  = 
1 )
4342iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  =  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )
44 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  <_  K )
4544iftrued 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  ( i  -  1 ) )
4642adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  -.  i  =  1 )
479, 20eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  C_  NN
48 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  D )
4947, 48sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  NN )
50 nn1m1nn 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  NN  ->  (
i  =  1  \/  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  =  1  \/  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5251ord 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  ( -.  i  =  1  ->  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5346, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  NN )
5453nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
5549nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  RR )
5630ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  N  e.  RR )
5755lem1d 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  <_  i )
5848, 9syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
59 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  <_  N )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  <_  N )
6154, 55, 56, 57, 60letrd 9792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  <_  N )
6253, 61jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
( i  -  1 )  e.  NN  /\  ( i  -  1 )  <_  N )
)
63 fznn 11863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
i  -  1 )  e.  NN  /\  (
i  -  1 )  <_  N ) ) )
6435, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( ( i  -  1 )  e.  NN  /\  ( i  -  1 )  <_  N ) ) )
6564ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
i  -  1 )  e.  NN  /\  (
i  -  1 )  <_  N ) ) )
6662, 65mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
6766, 9syl6eleqr 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  D )
6845, 67eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  e.  D )
69 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  -.  i  <_  K )
7069iffalsed 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  i )
71 simpllr 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  i  e.  D )
7270, 71eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  e.  D )
7368, 72pm2.61dan 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i )  e.  D )
7443, 73eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
7541, 74pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D
)  ->  if (
i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
7675ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D
)
77 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
7877fnmpt 5704 . . . 4  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
7976, 78syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
8077rnmptss 6052 . . . 4  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  ran  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) 
C_  D )
8176, 80syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ran  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  C_  D
)
82 fnco 5684 . . 3  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  Fn  D  /\  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  Fn  D  /\  ran  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  C_  D )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )  Fn  D )
8315, 79, 81, 82syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )  Fn  D )
84 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  ->  x  =  1 )
8584iftrued 3889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  K )
8685fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 K ) )
87 fzfi 12185 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
889, 87eqeltri 2525 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
Fin
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  D  e.  Fin )
9023, 21sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  D
)
9119ltp1d 10537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
9219, 91ltned 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
9310pmtrprfv 17094 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  K  =/=  ( K  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9489, 39, 90, 92, 93syl13anc 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9594ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9686, 95eqtr2d 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
9788a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  D  e.  Fin )
9839ad4antr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  D
)
9990ad4antr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  + 
1 )  e.  D
)
10092ad4antr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
10110pmtrprfv2 28611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  K  =/=  ( K  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) )  =  K )
10297, 98, 99, 100, 101syl13anc 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) )  =  K )
10391ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
104 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  x  =  ( K  +  1 ) )
105103, 104breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  x
)
10619ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  RR )
107 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  D )
10847, 107sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  NN )
109108nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  RR )
110109ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
111106, 110ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  < 
x  <->  -.  x  <_  K ) )
112105, 111mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  K )
113112iffalsed 3892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  x )
114113, 104eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( K  +  1 ) )
115114fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) ) )
116104oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  ( ( K  +  1 )  -  1 ) )
117106recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  CC )
118 1cnd 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  1  e.  CC )
119117, 118pncand 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( K  +  1 )  - 
1 )  =  K )
120116, 119eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  K )
121102, 115, 1203eqtr4rd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
122 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  ( K  + 
1 ) )
123 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( K  + 
1 ) )
124123necomd 2679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  =/=  x )
125109ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  RR )
12625ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  RR )
127125, 126ltlend 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  <  ( K  +  1 )  <-> 
( x  <_  ( K  +  1 )  /\  ( K  + 
1 )  =/=  x
) ) )
128122, 124, 127mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <  ( K  + 
1 ) )
129108ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  NN )
130 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  K  e.  NN )
131130ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  e.  NN )
132 nnleltp1 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( x  <_  K  <->  x  <  ( K  + 
1 ) ) )
133129, 131, 132syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  <_  K  <->  x  <  ( K  + 
1 ) ) )
134128, 133mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  K )
135134iftrued 3889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
)  =  ( x  -  1 ) )
136135fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
x  -  1 ) ) )
13788a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  D  e.  Fin )
13839ad4antr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  e.  D )
139 simp-5r 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  D )
140 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  -.  x  = 
1 )
141140ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  -.  x  =  1
)
142 elnn1uz2 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
143129, 142sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
144143ord 379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
146 uz2m1nn 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  -  1 )  e.  NN )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  NN )
148139, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  N  e.  NN )
149147nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  RR )
150131, 139, 30syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  N  e.  RR )
151125lem1d 10540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <_  x )
152107ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  D )
153152, 9syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  ( 1 ... N ) )
154 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  <_  N )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  N )
156149, 125, 150, 151, 155letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <_  N )
157147, 148, 1563jca 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( x  - 
1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( x  -  1
)  <_  N )
)
158 elfz1b 11864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
x  -  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <_  N ) )
159157, 158sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
160159, 9syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  D )
161138, 139, 1603jca 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  ( x  -  1
)  e.  D ) )
162131, 139, 92syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  =/=  ( K  + 
1 ) )
163 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  K  =  ( x  -  1 ) )
164163oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  ( K  + 
1 )  =  ( ( x  -  1 )  +  1 ) )
165109recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  CC )
166165ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  x  e.  CC )
167 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
168166, 167npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  ( ( x  -  1 )  +  1 )  =  x )
169164, 168eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  x  =  ( K  +  1 ) )
170169ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  ( K  =  ( x  -  1 )  ->  x  =  ( K  +  1 ) ) )
171170necon3d 2645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  (
x  =/=  ( K  +  1 )  ->  K  =/=  ( x  - 
1 ) ) )
172171imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  =/=  ( x  - 
1 ) )
173149, 125, 126, 151, 128lelttrd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <  ( K  +  1 ) )
174149, 173ltned 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  =/=  ( K  +  1 ) )
175174necomd 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  =/=  ( x  -  1 ) )
176162, 172, 1753jca 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  (
x  -  1 )  /\  ( K  + 
1 )  =/=  (
x  -  1 ) ) )
17710pmtrprfv3 17095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  ( x  -  1
)  e.  D )  /\  ( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  ( x  -  1 )  /\  ( K  +  1 )  =/=  ( x  -  1 ) ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( x  -  1 ) )  =  ( x  - 
1 ) )
178137, 161, 176, 177syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( x  -  1 ) )  =  ( x  - 
1 ) )
179136, 178eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
180121, 179pm2.61dane 2711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
181109ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  e.  RR )
18219ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  K  e.  RR )
18325ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
184 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  <_  K )
18531ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
186181, 182, 183, 184, 185letrd 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  <_  ( K  +  1 ) )
187186ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( x  <_  K  ->  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
188187con3d 139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( -.  x  <_  ( K  +  1 )  ->  -.  x  <_  K ) )
189188imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  K )
190189iffalsed 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  =  x )
191190fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  x ) )
19288a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  D  e.  Fin )
19339ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  D )
19490ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  D )
195107ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  D )
196193, 194, 1953jca 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1
)  e.  D  /\  x  e.  D )
)
19792ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
19819ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  RR )
19925ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
200109ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
20191ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
202 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  ( K  + 
1 ) )
203199, 200ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( K  +  1 )  <  x  <->  -.  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
204202, 203mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  <  x )
205198, 199, 200, 201, 204lttrd 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  x )
206198, 205ltned 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  x )
207199, 204ltned 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  =/=  x )
208197, 206, 2073jca 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  =/=  ( K  + 
1 )  /\  K  =/=  x  /\  ( K  +  1 )  =/=  x ) )
20910pmtrprfv3 17095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  x  e.  D )  /\  ( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  x  /\  ( K  +  1 )  =/=  x ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  x
)  =  x )
210192, 196, 208, 209syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 x )  =  x )
211191, 210eqtr2d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
212180, 211ifeqda 3914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
213140iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )
214213fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
215212, 214eqtr4d 2488 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
21696, 215ifeqda 3914 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
217 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )
218 eqeq1 2455 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
i  =  1  <->  x  =  1 ) )
219 breq1 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
i  <_  K  <->  x  <_  K ) )
220 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
i  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
221 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  i  =  x )
222219, 220, 221ifbieq12d 3908 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )
223218, 222ifbieq2d 3906 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
224223adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  i  =  x )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
225 ovex 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
226 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
227225, 226keepel 3948 . . . . . . . 8  |-  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V
228227a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V )
229 ifexg 3950 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN  /\  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
)  e.  _V )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
) )  e.  _V )
230130, 228, 229syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  e.  _V )
231217, 224, 107, 230fvmptd 5954 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
232231fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
233216, 232eqtr4d 2488 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
234 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
i  <_  ( K  +  1 )  <->  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
235234, 220, 221ifbieq12d 3908 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )
236218, 235ifbieq2d 3906 . . . . 5  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
237225, 226ifex 3949 . . . . . 6  |-  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V
2381, 237ifex 3949 . . . . 5  |-  if ( x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  e.  _V
239236, 6, 238fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_ 
( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) `
 x )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_ 
( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
240239adantl 468 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
241 funmpt 5618 . . . . 5  |-  Fun  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
242241a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  Fun  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )
24376adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  A. i  e.  D  if (
i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
244 dmmptg 5332 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  D )
245243, 244syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  D )
246107, 245eleqtrrd 2532 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )
247 fvco 5941 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  /\  x  e.  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
248242, 246, 247syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) ) `  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
249233, 240, 2483eqtr4d 2495 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) ) `  x ) )
2508, 83, 249eqfnfvd 5979 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   ifcif 3881   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    o. ccom 4838   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  pmTrspcpmtr 17082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-pmtr 17083
This theorem is referenced by:  fzto1st  28616  psgnfzto1st  28618
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