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Theorem psgnfzto1stlem 28602
Description: Lemma for psgnfzto1st 28607. Our permutation of rank  (
n  +  1 ) can be written as a permutation of rank  n composed with a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
psgnfzto1st.d  |-  D  =  ( 1 ... N
)
Assertion
Ref Expression
psgnfzto1stlem  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, K
Allowed substitution hint:    N( i)

Proof of Theorem psgnfzto1stlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6325 . . . . 5  |-  ( K  +  1 )  e. 
_V
2 ovex 6325 . . . . . 6  |-  ( i  -  1 )  e. 
_V
3 vex 3081 . . . . . 6  |-  i  e. 
_V
42, 3ifex 3974 . . . . 5  |-  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i )  e.  _V
51, 4ifex 3974 . . . 4  |-  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  _V
6 eqid 2420 . . . 4  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
75, 6fnmpti 5716 . . 3  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D
87a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
9 psgnfzto1st.d . . . . 5  |-  D  =  ( 1 ... N
)
10 eqid 2420 . . . . 5  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
119, 10pmtrto1cl 28601 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  e.  ran  (pmTrsp `  D ) )
12 eqid 2420 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (pmTrsp `  D )
1310, 12pmtrff1o 17082 . . . 4  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  e.  ran  (pmTrsp `  D )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) : D -1-1-onto-> D )
14 f1ofn 5824 . . . 4  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  Fn  D )
1511, 13, 143syl 18 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  Fn  D )
16 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  -> 
i  =  1 )
1716iftrued 3914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  K )
18 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  NN )
1918nnred 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  RR )
20 fz1ssnn 11824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
219eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  <->  ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N
) )
2221biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  ->  ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  ( 1 ... N ) )
2420, 23sseldi 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  NN )
2524nnred 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  RR )
26 elfz1b 11858 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( ( K  +  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  <_  N ) )
2726simp2bi 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  NN )
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  +  1 )  e.  D  ->  N  e.  NN )
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  NN )
3029nnred 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  RR )
3119lep1d 10534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
32 elfzle2 11797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K  +  1 )  <_  N )
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  <_  N
)
3419, 25, 30, 31, 33letrd 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <_  N
)
3529nnzd 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  N  e.  ZZ )
36 fznn 11857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  e.  NN  /\  K  <_  N ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( K  e.  NN  /\  K  <_  N ) ) )
3818, 34, 37mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  ( 1 ... N ) )
3938, 9syl6eleqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  e.  D
)
4039ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  K  e.  D )
4117, 40eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D
)
42 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  -.  i  = 
1 )
4342iffalsed 3917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  =  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )
44 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  <_  K )
4544iftrued 3914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  ( i  -  1 ) )
4642adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  -.  i  =  1 )
479, 20eqsstri 3491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  C_  NN
48 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  D )
4947, 48sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  NN )
50 nn1m1nn 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  NN  ->  (
i  =  1  \/  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  =  1  \/  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5251ord 378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  ( -.  i  =  1  ->  ( i  -  1 )  e.  NN ) )
5346, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  NN )
5453nnred 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
5549nnred 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  RR )
5630ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  N  e.  RR )
5755lem1d 10536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  <_  i )
5848, 9syl6eleq 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  e.  ( 1 ... N
) )
59 elfzle2 11797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  <_  N )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  i  <_  N )
6154, 55, 56, 57, 60letrd 9788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  <_  N )
6253, 61jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
( i  -  1 )  e.  NN  /\  ( i  -  1 )  <_  N )
)
63 fznn 11857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
i  -  1 )  e.  NN  /\  (
i  -  1 )  <_  N ) ) )
6435, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( ( i  -  1 )  e.  NN  /\  ( i  -  1 )  <_  N ) ) )
6564ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
( i  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
i  -  1 )  e.  NN  /\  (
i  -  1 )  <_  N ) ) )
6662, 65mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
6766, 9syl6eleqr 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  (
i  -  1 )  e.  D )
6845, 67eqeltrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  e.  D )
69 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  -.  i  <_  K )
7069iffalsed 3917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  i )
71 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  i  e.  D )
7270, 71eqeltrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  /\  -.  i  <_  K )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  e.  D )
7368, 72pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i )  e.  D )
7443, 73eqeltrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D )  /\  -.  i  =  1 )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
7541, 74pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  i  e.  D
)  ->  if (
i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
7675ralrimiva 2837 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D
)
77 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
7877fnmpt 5714 . . . 4  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
7976, 78syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  Fn  D )
8077rnmptss 6059 . . . 4  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  ran  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) 
C_  D )
8176, 80syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ran  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  C_  D
)
82 fnco 5694 . . 3  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  Fn  D  /\  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  Fn  D  /\  ran  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )  C_  D )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )  Fn  D )
8315, 79, 81, 82syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )  Fn  D )
84 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  ->  x  =  1 )
8584iftrued 3914 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  K )
8685fveq2d 5877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 K ) )
87 fzfi 12178 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
889, 87eqeltri 2504 . . . . . . . . 9  |-  D  e. 
Fin
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  D  e.  Fin )
9023, 21sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( K  + 
1 )  e.  D
)
9119ltp1d 10533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
9219, 91ltned 9767 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
9310pmtrprfv 17072 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  K  =/=  ( K  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9489, 39, 90, 92, 93syl13anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9594ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  K )  =  ( K  + 
1 ) )
9686, 95eqtr2d 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  x  =  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
9788a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  D  e.  Fin )
9839ad4antr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  D
)
9990ad4antr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  + 
1 )  e.  D
)
10092ad4antr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
10110pmtrprfv2 28600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  K  =/=  ( K  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) )  =  K )
10297, 98, 99, 100, 101syl13anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) )  =  K )
10391ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
104 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  x  =  ( K  +  1 ) )
105103, 104breqtrrd 4444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  x
)
10619ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  RR )
107 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  D )
10847, 107sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  NN )
109108nnred 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  RR )
110109ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
111106, 110ltnled 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  < 
x  <->  -.  x  <_  K ) )
112105, 111mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  K )
113112iffalsed 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  x )
114113, 104eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( K  +  1 ) )
115114fveq2d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( K  +  1 ) ) )
116104oveq1d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  ( ( K  +  1 )  -  1 ) )
117106recnd 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  CC )
118 1cnd 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  1  e.  CC )
119117, 118pncand 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( ( K  +  1 )  - 
1 )  =  K )
120116, 119eqtrd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  K )
121102, 115, 1203eqtr4rd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =  ( K  +  1 ) )  ->  ( x  - 
1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
122 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  ( K  + 
1 ) )
123 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( K  + 
1 ) )
124123necomd 2693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  =/=  x )
125109ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  RR )
12625ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  RR )
127125, 126ltlend 9776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  <  ( K  +  1 )  <-> 
( x  <_  ( K  +  1 )  /\  ( K  + 
1 )  =/=  x
) ) )
128122, 124, 127mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <  ( K  + 
1 ) )
129108ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  NN )
130 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  K  e.  NN )
131130ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  e.  NN )
132 nnleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( x  <_  K  <->  x  <  ( K  + 
1 ) ) )
133129, 131, 132syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  <_  K  <->  x  <  ( K  + 
1 ) ) )
134128, 133mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  K )
135134iftrued 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
)  =  ( x  -  1 ) )
136135fveq2d 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
x  -  1 ) ) )
13788a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  D  e.  Fin )
13839ad4antr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  e.  D )
139 simp-5r 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  e.  D )
140 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  -.  x  = 
1 )
141140ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  -.  x  =  1
)
142 elnn1uz2 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  NN  <->  ( x  =  1  \/  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
143129, 142sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
144143ord 378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( -.  x  =  1  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
146 uz2m1nn 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( x  -  1 )  e.  NN )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  NN )
148139, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  N  e.  NN )
149147nnred 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  RR )
150131, 139, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  N  e.  RR )
151125lem1d 10536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <_  x )
152107ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  D )
153152, 9syl6eleq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  e.  ( 1 ... N ) )
154 elfzle2 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  <_  N )
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  x  <_  N )
156149, 125, 150, 151, 155letrd 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <_  N )
157147, 148, 1563jca 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( x  - 
1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( x  -  1
)  <_  N )
)
158 elfz1b 11858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
x  -  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <_  N ) )
159157, 158sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
160159, 9syl6eleqr 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  e.  D )
161138, 139, 1603jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  ( x  -  1
)  e.  D ) )
162131, 139, 92syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  =/=  ( K  + 
1 ) )
163 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  K  =  ( x  -  1 ) )
164163oveq1d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  ( K  + 
1 )  =  ( ( x  -  1 )  +  1 ) )
165109recnd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  CC )
166165ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  x  e.  CC )
167 1cnd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
168166, 167npcand 9986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  ( ( x  -  1 )  +  1 )  =  x )
169164, 168eqtr2d 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  K  =  ( x  -  1 ) )  ->  x  =  ( K  +  1 ) )
170169ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  ( K  =  ( x  -  1 )  ->  x  =  ( K  +  1 ) ) )
171170necon3d 2646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  (
x  =/=  ( K  +  1 )  ->  K  =/=  ( x  - 
1 ) ) )
172171imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  ->  K  =/=  ( x  - 
1 ) )
173149, 125, 126, 151, 128lelttrd 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  <  ( K  +  1 ) )
174149, 173ltned 9767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  =/=  ( K  +  1 ) )
175174necomd 2693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  +  1 )  =/=  ( x  -  1 ) )
176162, 172, 1753jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  (
x  -  1 )  /\  ( K  + 
1 )  =/=  (
x  -  1 ) ) )
17710pmtrprfv3 17073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  ( x  -  1
)  e.  D )  /\  ( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  ( x  -  1 )  /\  ( K  +  1 )  =/=  ( x  -  1 ) ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( x  -  1 ) )  =  ( x  - 
1 ) )
178137, 161, 176, 177syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( x  -  1 ) )  =  ( x  - 
1 ) )
179136, 178eqtr2d 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  /\  x  e.  D
)  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  ( K  + 
1 ) )  /\  x  =/=  ( K  + 
1 ) )  -> 
( x  -  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
180121, 179pm2.61dane 2740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
181109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  e.  RR )
18219ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  K  e.  RR )
18325ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
184 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  <_  K )
18531ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  K  <_  ( K  +  1 ) )
186181, 182, 183, 184, 185letrd 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  x  <_  K )  ->  x  <_  ( K  +  1 ) )
187186ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( x  <_  K  ->  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
188187con3d 138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( -.  x  <_  ( K  +  1 )  ->  -.  x  <_  K ) )
189188imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  K )
190189iffalsed 3917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  =  x )
191190fveq2d 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  x ) )
19288a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  D  e.  Fin )
19339ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  D )
19490ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  D )
195107ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  D )
196193, 194, 1953jca 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1
)  e.  D  /\  x  e.  D )
)
19792ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  ( K  +  1 ) )
19819ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  e.  RR )
19925ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
200109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  e.  RR )
20191ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
202 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  -.  x  <_  ( K  + 
1 ) )
203199, 200ltnled 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( K  +  1 )  <  x  <->  -.  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
204202, 203mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  <  x )
205198, 199, 200, 201, 204lttrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  <  x )
206198, 205ltned 9767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  K  =/=  x )
207199, 204ltned 9767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  =/=  x )
208197, 206, 2073jca 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  =/=  ( K  + 
1 )  /\  K  =/=  x  /\  ( K  +  1 )  =/=  x ) )
20910pmtrprfv3 17073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( K  e.  D  /\  ( K  +  1 )  e.  D  /\  x  e.  D )  /\  ( K  =/=  ( K  +  1 )  /\  K  =/=  x  /\  ( K  +  1 )  =/=  x ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  x
)  =  x )
210192, 196, 208, 209syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 x )  =  x )
211191, 210eqtr2d 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  /\  -.  x  <_  ( K  +  1 ) )  ->  x  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
212180, 211ifeqda 3939 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
213140iffalsed 3917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )
214213fveq2d 5877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } ) `
 if ( x  <_  K ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
215212, 214eqtr4d 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  -.  x  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
21696, 215ifeqda 3939 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
217 eqidd 2421 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )
218 eqeq1 2424 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
i  =  1  <->  x  =  1 ) )
219 breq1 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
i  <_  K  <->  x  <_  K ) )
220 oveq1 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
i  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
221 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  i  =  x )
222219, 220, 221ifbieq12d 3933 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )
223218, 222ifbieq2d 3931 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
224223adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D )  /\  i  =  x )  ->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
225 ovex 6325 . . . . . . . . 9  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
226 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
227225, 226keepel 3973 . . . . . . . 8  |-  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V
228227a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V )
229 ifexg 3975 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN  /\  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
)  e.  _V )  ->  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K ,  ( x  - 
1 ) ,  x
) )  e.  _V )
230130, 228, 229syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) )  e.  _V )
231217, 224, 107, 230fvmptd 5962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) )
232231fveq2d 5877 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  if ( x  =  1 ,  K ,  if ( x  <_  K , 
( x  -  1 ) ,  x ) ) ) )
233216, 232eqtr4d 2464 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  if (
x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
234 breq1 4420 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
i  <_  ( K  +  1 )  <->  x  <_  ( K  +  1 ) ) )
235234, 220, 221ifbieq12d 3933 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i )  =  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )
236218, 235ifbieq2d 3931 . . . . 5  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
237225, 226ifex 3974 . . . . . 6  |-  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x )  e.  _V
2381, 237ifex 3974 . . . . 5  |-  if ( x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) )  e.  _V
239236, 6, 238fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  (
( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_ 
( K  +  1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) `
 x )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( x  <_ 
( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
240239adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  if ( x  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( x  <_  ( K  +  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  x ) ) )
241 funmpt 5629 . . . . 5  |-  Fun  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) )
242241a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  Fun  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) )
24376adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  A. i  e.  D  if (
i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) )  e.  D )
244 dmmptg 5344 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  D  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) )  e.  D  ->  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  D )
245243, 244syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  D )
246107, 245eleqtrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  x  e.  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )
247 fvco 5949 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  /\  x  e.  dom  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
248242, 246, 247syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { K ,  ( K  + 
1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) ) ) `  x )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } ) `  ( ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x ) ) )
249233, 240, 2483eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1 )  e.  D )  /\  x  e.  D
)  ->  ( (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  + 
1 ) ,  if ( i  <_  ( K  +  1 ) ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) `  x )  =  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K , 
( i  -  1 ) ,  i ) ) ) ) `  x ) )
2508, 83, 249eqfnfvd 5986 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( K  +  1
)  e.  D )  ->  ( i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  ( K  +  1 ) ,  if ( i  <_  ( K  + 
1 ) ,  ( i  -  1 ) ,  i ) ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { K ,  ( K  +  1 ) } )  o.  (
i  e.  D  |->  if ( i  =  1 ,  K ,  if ( i  <_  K ,  ( i  - 
1 ) ,  i ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   ifcif 3906   {cpr 3995   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4476   dom cdm 4846   ran crn 4847    o. ccom 4850   Fun wfun 5587    Fn wfn 5588   -1-1-onto->wf1o 5592   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Fincfn 7569   CCcc 9533   RRcr 9534   1c1 9536    + caddc 9538    < clt 9671    <_ cle 9672    - cmin 9856   NNcn 10605   2c2 10655   ZZcz 10933   ZZ>=cuz 11155   ...cfz 11778  pmTrspcpmtr 17060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779  df-pmtr 17061
This theorem is referenced by:  fzto1st  28605  psgnfzto1st  28607
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