Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgnfval 17153
 Description: Function definition of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfval.g
psgnfval.b
psgnfval.f
psgnfval.t pmTrsp
psgnfval.n pmSgn
Assertion
Ref Expression
psgnfval Word g
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem psgnfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnfval.n . 2 pmSgn
2 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
3 psgnfval.g . . . . . . . . . 10
42, 3syl6eqr 2505 . . . . . . . . 9
54fveq2d 5874 . . . . . . . 8
6 psgnfval.b . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2505 . . . . . . 7
8 rabeq 3040 . . . . . . 7
97, 8syl 17 . . . . . 6
10 psgnfval.f . . . . . 6
119, 10syl6eqr 2505 . . . . 5
12 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10 pmTrsp pmTrsp
1312rneqd 5065 . . . . . . . . 9 pmTrsp pmTrsp
14 psgnfval.t . . . . . . . . 9 pmTrsp
1513, 14syl6eqr 2505 . . . . . . . 8 pmTrsp
16 wrdeq 12696 . . . . . . . 8 pmTrsp Word pmTrsp Word
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 Word pmTrsp Word
184oveq1d 6310 . . . . . . . . 9 g g
1918eqeq2d 2463 . . . . . . . 8 g g
2019anbi1d 712 . . . . . . 7 g g
2117, 20rexeqbidv 3004 . . . . . 6 Word pmTrsp g Word g
2221iotabidv 5570 . . . . 5 Word pmTrsp g Word g
2311, 22mpteq12dv 4484 . . . 4 Word pmTrsp g Word g
24 df-psgn 17144 . . . 4 pmSgn Word pmTrsp g
25 fvex 5880 . . . . . . 7
266, 25eqeltri 2527 . . . . . 6
2710, 26rabex2 4559 . . . . 5
2827mptex 6141 . . . 4 Word g
2923, 24, 28fvmpt 5953 . . 3 pmSgn Word g
30 fvprc 5864 . . . 4 pmSgn
31 fvprc 5864 . . . . . . . . . . . . 13
323, 31syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . 12
3332fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11
34 base0 15174 . . . . . . . . . . 11
3533, 34syl6eqr 2505 . . . . . . . . . 10
366, 35syl5eq 2499 . . . . . . . . 9
37 rabeq 3040 . . . . . . . . 9
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8
39 rab0 3755 . . . . . . . 8
4038, 39syl6eq 2503 . . . . . . 7
4110, 40syl5eq 2499 . . . . . 6
4241mpteq1d 4487 . . . . 5 Word g Word g
43 mpt0 5710 . . . . 5 Word g
4442, 43syl6eq 2503 . . . 4 Word g
4530, 44eqtr4d 2490 . . 3 pmSgn Word g
4629, 45pm2.61i 168 . 2 pmSgn Word g
471, 46eqtri 2475 1 Word g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wrex 2740  crab 2743  cvv 3047   cdif 3403  c0 3733   cmpt 4464   cid 4747   cdm 4837   crn 4838  cio 5547  cfv 5585  (class class class)co 6295  cfn 7574  c1 9545  cneg 9866  cexp 12279  chash 12522  Word cword 12663  cbs 15133   g cgsu 15351  csymg 17030  pmTrspcpmtr 17094  pmSgncpsgn 17142 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-slot 15137  df-base 15138  df-psgn 17144 This theorem is referenced by:  psgnfn  17154  psgnval  17160  psgnfvalfi  17166
 Copyright terms: Public domain W3C validator