MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfn Structured version   Unicode version

Theorem psgnfn 16319
Description: Functionality and domain of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnfn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnfn.f  |-  F  =  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
psgnfn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnfn  |-  N  Fn  F
Distinct variable group:    B, p
Allowed substitution hints:    D( p)    F( p)    G( p)    N( p)

Proof of Theorem psgnfn
Dummy variables  s  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5566 . 2  |-  ( iota s E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  D )
( x  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) )  e.  _V
2 psgnfn.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 psgnfn.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 psgnfn.f . . 3  |-  F  =  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
5 eqid 2467 . . 3  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (pmTrsp `  D )
6 psgnfn.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
72, 3, 4, 5, 6psgnfval 16318 . 2  |-  N  =  ( x  e.  F  |->  ( iota s E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  D ) ( x  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  (
-u 1 ^ ( # `
 w ) ) ) ) )
81, 7fnmpti 5707 1  |-  N  Fn  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    _I cid 4790   dom cdm 4999   ran crn 5000   iotacio 5547    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   1c1 9489   -ucneg 9802   ^cexp 12129   #chash 12367  Word cword 12494   Basecbs 14483    gsumg cgsu 14689   SymGrpcsymg 16194  pmTrspcpmtr 16259  pmSgncpsgn 16307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-word 12502  df-slot 14487  df-base 14488  df-psgn 16309
This theorem is referenced by:  psgndmsubg  16320  psgneldm  16321  psgneldm2  16322  psgnval  16325  psgnghm  18380  psgnghm2  18381  zrhcofipsgn  18393  m1detdiag  18863
  Copyright terms: Public domain W3C validator