MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfn Structured version   Unicode version

Theorem psgnfn 16848
Description: Functionality and domain of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnfn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnfn.f  |-  F  =  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
psgnfn.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnfn  |-  N  Fn  F
Distinct variable group:    B, p
Allowed substitution hints:    D( p)    F( p)    G( p)    N( p)

Proof of Theorem psgnfn
Dummy variables  s  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5549 . 2  |-  ( iota s E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  D )
( x  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  ( -u 1 ^ ( # `  w
) ) ) )  e.  _V
2 psgnfn.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 psgnfn.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 psgnfn.f . . 3  |-  F  =  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
5 eqid 2402 . . 3  |-  ran  (pmTrsp `  D )  =  ran  (pmTrsp `  D )
6 psgnfn.n . . 3  |-  N  =  (pmSgn `  D )
72, 3, 4, 5, 6psgnfval 16847 . 2  |-  N  =  ( x  e.  F  |->  ( iota s E. w  e. Word  ran  (pmTrsp `  D ) ( x  =  ( G  gsumg  w )  /\  s  =  (
-u 1 ^ ( # `
 w ) ) ) ) )
81, 7fnmpti 5691 1  |-  N  Fn  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   {crab 2757    \ cdif 3410    _I cid 4732   dom cdm 4822   ran crn 4823   iotacio 5530    Fn wfn 5563   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   1c1 9522   -ucneg 9841   ^cexp 12208   #chash 12450  Word cword 12581   Basecbs 14839    gsumg cgsu 15053   SymGrpcsymg 16724  pmTrspcpmtr 16788  pmSgncpsgn 16836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-slot 14843  df-base 14844  df-psgn 16838
This theorem is referenced by:  psgndmsubg  16849  psgneldm  16850  psgneldm2  16851  psgnval  16854  psgnghm  18912  psgnghm2  18913  zrhcofipsgn  18925  m1detdiag  19389
  Copyright terms: Public domain W3C validator