MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfitr Structured version   Unicode version

Theorem psgnfitr 16122
Description: A permutation of a finite set is generated by transpositions. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfitr.g  |-  G  =  ( SymGrp `  N )
psgnfitr.p  |-  B  =  ( Base `  G
)
psgnfitr.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  N
)
Assertion
Ref Expression
psgnfitr  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  B  <->  E. w  e. Word  T Q  =  ( G  gsumg  w ) ) )
Distinct variable groups:    w, G    w, Q    w, T
Allowed substitution hints:    B( w)    N( w)

Proof of Theorem psgnfitr
StepHypRef Expression
1 psgnfitr.t . . . . 5  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  N
)
2 psgnfitr.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  N )
3 psgnfitr.p . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  (mrCls `  (SubMnd `  G ) )  =  (mrCls `  (SubMnd `  G ) )
51, 2, 3, 4symggen2 16076 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
(mrCls `  (SubMnd `  G
) ) `  T
)  =  B )
62symggrp 16004 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Fin  ->  G  e.  Grp )
7 grpmnd 15649 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  G  e.  Mnd )
9 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
101, 2, 9symgtrf 16074 . . . . 5  |-  T  C_  ( Base `  G )
119, 4gsumwspan 15623 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
) )  ->  (
(mrCls `  (SubMnd `  G
) ) `  T
)  =  ran  (
w  e. Word  T  |->  ( G  gsumg  w ) ) )
128, 10, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
(mrCls `  (SubMnd `  G
) ) `  T
)  =  ran  (
w  e. Word  T  |->  ( G  gsumg  w ) ) )
135, 12eqtr3d 2493 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  B  =  ran  ( w  e. Word  T  |->  ( G  gsumg  w ) ) )
1413eleq2d 2520 . 2  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  B  <->  Q  e.  ran  ( w  e. Word  T  |->  ( G  gsumg  w ) ) ) )
15 eqid 2451 . . 3  |-  ( w  e. Word  T  |->  ( G 
gsumg  w ) )  =  ( w  e. Word  T  |->  ( G  gsumg  w ) )
16 ovex 6212 . . 3  |-  ( G 
gsumg  w )  e.  _V
1715, 16elrnmpti 5185 . 2  |-  ( Q  e.  ran  ( w  e. Word  T  |->  ( G 
gsumg  w ) )  <->  E. w  e. Word  T Q  =  ( G  gsumg  w ) )
1814, 17syl6bb 261 1  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Q  e.  B  <->  E. w  e. Word  T Q  =  ( G  gsumg  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2794    C_ wss 3423    |-> cmpt 4445   ran crn 4936   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Fincfn 7407  Word cword 12320   Basecbs 14273    gsumg cgsu 14478  mrClscmrc 14620   Mndcmnd 15508   Grpcgrp 15509  SubMndcsubmnd 15562   SymGrpcsymg 15981  pmTrspcpmtr 16046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-word 12328  df-concat 12330  df-s1 12331  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-tset 14356  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-subg 15777  df-symg 15982  df-pmtr 16047
This theorem is referenced by:  psgnfix1  18134  psgnfix2  18135
  Copyright terms: Public domain W3C validator