MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Unicode version

Theorem psgnevpmb 18383
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3115 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  D  e.  _V )
2 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  (pmSgn `  D ) )
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
42, 3syl6eqr 2519 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  N )
54cnveqd 5169 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  `' (pmSgn `  d )  =  `' N )
65imaeq1d 5327 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } )  =  ( `' N " { 1 } ) )
7 df-evpm 16306 . . . . 5  |- pmEven  =  ( d  e.  _V  |->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } ) )
8 fvex 5867 . . . . . . . 8  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
93, 8eqeltri 2544 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
109cnvex 6721 . . . . . 6  |-  `' N  e.  _V
11 imaexg 6711 . . . . . 6  |-  ( `' N  e.  _V  ->  ( `' N " { 1 } )  e.  _V )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' N " { 1 } )  e.  _V
136, 7, 12fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' N " { 1 } ) )
141, 13syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' N " { 1 } ) )
1514eleq2d 2530 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  F  e.  ( `' N " { 1 } ) ) )
16 evpmss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
17 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
1816, 3, 17psgnghm2 18377 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
19 evpmss.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  S
)
20 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
2119, 20ghmf 16059 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
2218, 21syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
23 ffn 5722 . . . 4  |-  ( N : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N  Fn  P
)
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  Fn  P )
25 fniniseg 5993 . . 3  |-  ( N  Fn  P  ->  ( F  e.  ( `' N " { 1 } )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  ( `' N " { 1 } )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
2715, 26bitrd 253 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {csn 4020   {cpr 4022   `'ccnv 4991   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   1c1 9482   -ucneg 9795   Basecbs 14479   ↾s cress 14480    GrpHom cghm 16052   SymGrpcsymg 16190  pmSgncpsgn 16303  pmEvencevpm 16304  mulGrpcmgp 16924  ℂfldccnfld 18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-substr 12499  df-splice 12500  df-reverse 12501  df-s2 12763  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-oppg 16169  df-symg 16191  df-pmtr 16256  df-psgn 16305  df-evpm 16306  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-cnfld 18185
This theorem is referenced by:  psgnodpm  18384  psgnevpm  18385  evpmodpmf1o  18392  mdet0pr  18854
  Copyright terms: Public domain W3C validator