MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Unicode version

Theorem psgnevpmb 18036
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
psgnevpmb.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3000 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  D  e.  _V )
2 fveq2 5710 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  (pmSgn `  D ) )
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (pmSgn `  D )
42, 3syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  N )
54cnveqd 5034 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  `' (pmSgn `  d )  =  `' N )
65imaeq1d 5187 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } )  =  ( `' N " { 1 } ) )
7 df-evpm 16017 . . . . 5  |- pmEven  =  ( d  e.  _V  |->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } ) )
8 fvex 5720 . . . . . . . 8  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
93, 8eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
109cnvex 6544 . . . . . 6  |-  `' N  e.  _V
11 imaexg 6534 . . . . . 6  |-  ( `' N  e.  _V  ->  ( `' N " { 1 } )  e.  _V )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' N " { 1 } )  e.  _V
136, 7, 12fvmpt 5793 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' N " { 1 } ) )
141, 13syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' N " { 1 } ) )
1514eleq2d 2510 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  F  e.  ( `' N " { 1 } ) ) )
16 evpmss.s . . . . . 6  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
17 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
1816, 3, 17psgnghm2 18030 . . . . 5  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
19 evpmss.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  S
)
20 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
2119, 20ghmf 15770 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
2218, 21syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  Fin  ->  N : P --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
23 ffn 5578 . . . 4  |-  ( N : P --> ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  N  Fn  P
)
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  Fn  P )
25 fniniseg 5843 . . 3  |-  ( N  Fn  P  ->  ( F  e.  ( `' N " { 1 } )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
2624, 25syl 16 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  ( `' N " { 1 } )  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
2715, 26bitrd 253 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( F  e.  (pmEven `  D
)  <->  ( F  e.  P  /\  ( N `
 F )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2991   {csn 3896   {cpr 3898   `'ccnv 4858   "cima 4862    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Fincfn 7329   1c1 9302   -ucneg 9615   Basecbs 14193   ↾s cress 14194    GrpHom cghm 15763   SymGrpcsymg 15901  pmSgncpsgn 16014  pmEvencevpm 16015  mulGrpcmgp 16610  ℂfldccnfld 17837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-ot 3905  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-tpos 6764  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-word 12248  df-concat 12250  df-s1 12251  df-substr 12252  df-splice 12253  df-reverse 12254  df-s2 12494  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-mhm 15483  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-subg 15697  df-ghm 15764  df-gim 15806  df-oppg 15880  df-symg 15902  df-pmtr 15967  df-psgn 16016  df-evpm 16017  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-cring 16667  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-dvr 16794  df-drng 16853  df-cnfld 17838
This theorem is referenced by:  psgnodpm  18037  psgnevpm  18038  evpmodpmf1o  18045  mdet0pr  18422
  Copyright terms: Public domain W3C validator