Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem psgneu 17147
 Description: A finitary permutation has exactly one parity. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g
psgnval.t pmTrsp
psgnval.n pmSgn
Assertion
Ref Expression
psgneu Word g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem psgneu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnval.g . . . . . . . . 9
2 psgnval.n . . . . . . . . 9 pmSgn
3 eqid 2451 . . . . . . . . 9
41, 2, 3psgneldm 17144 . . . . . . . 8
54simplbi 462 . . . . . . 7
61, 3elbasfv 15170 . . . . . . 7
75, 6syl 17 . . . . . 6
8 psgnval.t . . . . . . 7 pmTrsp
91, 8, 2psgneldm2 17145 . . . . . 6 Word g
107, 9syl 17 . . . . 5 Word g
1110ibi 245 . . . 4 Word g
12 simpr 463 . . . . . . 7 Word g g
13 eqid 2451 . . . . . . 7
14 ovex 6318 . . . . . . . 8
15 eqeq1 2455 . . . . . . . . 9
1615anbi2d 710 . . . . . . . 8 g g
1714, 16spcev 3141 . . . . . . 7 g g
1812, 13, 17sylancl 668 . . . . . 6 Word g g
1918ex 436 . . . . 5 Word g g
2019reximdva 2862 . . . 4 Word g Word g
2111, 20mpd 15 . . 3 Word g
22 rexcom4 3067 . . 3 Word g Word g
2321, 22sylib 200 . 2 Word g
24 reeanv 2958 . . . 4 Word Word g g Word g Word g
257ad2antrr 732 . . . . . . . 8 Word Word g g
26 simplrl 770 . . . . . . . 8 Word Word g g Word
27 simplrr 771 . . . . . . . 8 Word Word g g Word
28 simprll 772 . . . . . . . . 9 Word Word g g g
29 simprrl 774 . . . . . . . . 9 Word Word g g g
3028, 29eqtr3d 2487 . . . . . . . 8 Word Word g g g g
311, 8, 25, 26, 27, 30psgnuni 17140 . . . . . . 7 Word Word g g
32 simprlr 773 . . . . . . 7 Word Word g g
33 simprrr 775 . . . . . . 7 Word Word g g
3431, 32, 333eqtr4d 2495 . . . . . 6 Word Word g g
3534ex 436 . . . . 5 Word Word g g
3635rexlimdvva 2886 . . . 4 Word Word g g
3724, 36syl5bir 222 . . 3 Word g Word g
3837alrimivv 1774 . 2 Word g Word g
39 eqeq1 2455 . . . . . 6
4039anbi2d 710 . . . . 5 g g
4140rexbidv 2901 . . . 4 Word g Word g
42 oveq2 6298 . . . . . . 7 g g
4342eqeq2d 2461 . . . . . 6 g g
44 fveq2 5865 . . . . . . . 8
4544oveq2d 6306 . . . . . . 7
4645eqeq2d 2461 . . . . . 6
4743, 46anbi12d 717 . . . . 5 g g
4847cbvrexv 3020 . . . 4 Word g Word g
4941, 48syl6bb 265 . . 3 Word g Word g
5049eu4 2347 . 2 Word g Word g Word g Word g
5123, 38, 50sylanbrc 670 1 Word g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371  wal 1442   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  weu 2299  wrex 2738  cvv 3045   cdif 3401   cid 4744   cdm 4834   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290  cfn 7569  c1 9540  cneg 9861  cexp 12272  chash 12515  Word cword 12656  cbs 15121   g cgsu 15339  csymg 17018  pmTrspcpmtr 17082  pmSgncpsgn 17130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-xor 1406  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-concat 12666  df-s1 12667  df-substr 12668  df-splice 12669  df-reverse 12670  df-s2 12944  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-gim 16923  df-oppg 16997  df-symg 17019  df-pmtr 17083  df-psgn 17132 This theorem is referenced by:  psgnvali  17149  psgnvalii  17150  psgnfieu  17159
 Copyright terms: Public domain W3C validator