MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneldm2i Structured version   Unicode version

Theorem psgneldm2i 16009
Description: A sequence of transpositions describes a finitary permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgneldm2i  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )

Proof of Theorem psgneldm2i
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( G 
gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W )
2 oveq2 6097 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( G  gsumg  W ) )
32eqeq2d 2452 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w )  <->  ( G  gsumg  W )  =  ( G 
gsumg  W ) ) )
43rspcev 3071 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W ) )  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
51, 4mpan2 671 . 2  |-  ( W  e. Word  T  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
6 psgnval.g . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
7 psgnval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
8 psgnval.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
96, 7, 8psgneldm2 16008 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( G  gsumg  W )  e.  dom  N  <->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) ) )
109biimpar 485 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )  -> 
( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
115, 10sylan2 474 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   dom cdm 4838   ran crn 4839   ` cfv 5416  (class class class)co 6089  Word cword 12219    gsumg cgsu 14377   SymGrpcsymg 15880  pmTrspcpmtr 15945  pmSgncpsgn 15993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-tset 14255  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-subg 15676  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995
This theorem is referenced by:  psgnvalii  16013  gsmtrcl  16020
  Copyright terms: Public domain W3C validator