MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneldm2i Structured version   Unicode version

Theorem psgneldm2i 17090
Description: A sequence of transpositions describes a finitary permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgnval.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
psgnval.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
Assertion
Ref Expression
psgneldm2i  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )

Proof of Theorem psgneldm2i
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . 3  |-  ( G 
gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W )
2 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( G  gsumg  W ) )
32eqeq2d 2434 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w )  <->  ( G  gsumg  W )  =  ( G 
gsumg  W ) ) )
43rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  W ) )  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
51, 4mpan2 675 . 2  |-  ( W  e. Word  T  ->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )
6 psgnval.g . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
7 psgnval.t . . . 4  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
8 psgnval.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
96, 7, 8psgneldm2 17089 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( G  gsumg  W )  e.  dom  N  <->  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) ) )
109biimpar 487 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  E. w  e. Word  T ( G  gsumg  W )  =  ( G  gsumg  w ) )  -> 
( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
115, 10sylan2 476 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  W  e. Word  T )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  dom  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5592  (class class class)co 6296  Word cword 12632    gsumg cgsu 15291   SymGrpcsymg 16962  pmTrspcpmtr 17026  pmSgncpsgn 17074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-word 12640  df-concat 12642  df-s1 12643  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-tset 15161  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-subg 16758  df-symg 16963  df-pmtr 17027  df-psgn 17076
This theorem is referenced by:  psgnvalii  17094  gsmtrcl  17101
  Copyright terms: Public domain W3C validator