MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneldm Structured version   Unicode version

Theorem psgneldm 16129
Description: Property of being a finitary permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgneldm.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
psgneldm.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgneldm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
psgneldm  |-  ( P  e.  dom  N  <->  ( P  e.  B  /\  dom  ( P  \  _I  )  e. 
Fin ) )

Proof of Theorem psgneldm
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq1 3576 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
p  \  _I  )  =  ( P  \  _I  ) )
21dmeqd 5151 . . 3  |-  ( p  =  P  ->  dom  ( p  \  _I  )  =  dom  ( P  \  _I  ) )
32eleq1d 2523 . 2  |-  ( p  =  P  ->  ( dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( P 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
4 psgneldm.g . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
5 psgneldm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2454 . . . 4  |-  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }  =  {
p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
7 psgneldm.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
84, 5, 6, 7psgnfn 16127 . . 3  |-  N  Fn  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
9 fndm 5619 . . 3  |-  ( N  Fn  { p  e.  B  |  dom  (
p  \  _I  )  e.  Fin }  ->  dom  N  =  { p  e.  B  |  dom  (
p  \  _I  )  e.  Fin } )
108, 9ax-mp 5 . 2  |-  dom  N  =  { p  e.  B  |  dom  ( p  \  _I  )  e.  Fin }
113, 10elrab2 3226 1  |-  ( P  e.  dom  N  <->  ( P  e.  B  /\  dom  ( P  \  _I  )  e. 
Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    \ cdif 3434    _I cid 4740   dom cdm 4949    Fn wfn 5522   ` cfv 5527   Fincfn 7421   Basecbs 14293   SymGrpcsymg 16002  pmSgncpsgn 16115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-word 12348  df-slot 14297  df-base 14298  df-psgn 16117
This theorem is referenced by:  psgneu  16132  psgnvalfi  16140  psgnran  16141  gsmtrcl  16142  psgnfieu  16144  psgnprfval  16147
  Copyright terms: Public domain W3C validator