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Theorem psgndiflemB 18503
Description: Lemma 1 for psgndif 18505. (Contributed by AV, 27-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfix.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
psgnfix.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
psgnfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
psgnfix.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
psgnfix.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
Assertion
Ref Expression
psgndiflemB  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) )  ->  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    Q, q    i, K, n    i, N, n    S, i, n    U, i, n    i, W, n   
i, Z, n
Allowed substitution hints:    P( i, n)    Q( i, n)    R( i, n, q)    S( q)    T( i, n, q)    U( q)    N( q)    W( q)    Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemB
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3263 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  Q  e.  P )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3 psgnfix.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
42, 3symgbasf 16280 . . . . 5  |-  ( Q  e.  P  ->  Q : N --> N )
5 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( Q : N --> N  ->  Q  Fn  N )
61, 4, 53syl 20 . . . 4  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  Q  Fn  N )
76ad3antlr 730 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  Q  Fn  N )
8 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  N  e.  Fin )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  ->  N  e.  Fin )
11 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  U  e. Word  R )
1210, 11anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  U  e. Word  R ) )
13 psgnfix.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
1413eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  Z
1514fveq2i 5875 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  Z )
163, 15eqtri 2496 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  Z
)
17 psgnfix.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
1813, 16, 17gsmtrcl 16412 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  U  e. Word  R )  ->  ( Z  gsumg  U )  e.  P
)
1912, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Z  gsumg  U )  e.  P
)
202, 3symgbasf 16280 . . . 4  |-  ( ( Z  gsumg  U )  e.  P  ->  ( Z  gsumg  U ) : N --> N )
21 ffn 5737 . . . 4  |-  ( ( Z  gsumg  U ) : N --> N  ->  ( Z  gsumg  U )  Fn  N )
2219, 20, 213syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Z  gsumg  U )  Fn  N
)
238ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  N  e.  Fin )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  K  e.  N )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  K  e.  N )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
2717, 13, 26symgtrf 16365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  C_  ( Base `  Z )
28 sswrd 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R 
C_  ( Base `  Z
)  -> Word  R  C_ Word  ( Base `  Z ) )
2928sseld 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  ( Base `  Z
)  ->  ( U  e. Word  R  ->  U  e. Word  (
Base `  Z )
) )
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. Word  R  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
31303ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
3323, 25, 323jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  K  e.  N  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
) ) )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)  ->  ( ( U `  i ) `  K )  =  K )
3534ralimi 2860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K )
36353ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
38 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  U )  =  ( # `  W
)  ->  ( 0..^ ( # `  U
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3938eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  =  ( # `  U
)  ->  ( 0..^ ( # `  U
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
4039raleqdv 3069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  ( # `  U
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
41403ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  U ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
4337, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
4413, 26gsmsymgrfix 16324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
)  =  K ) )
4533, 43, 44sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( Z  gsumg  U ) `
 K )  =  K )
4645eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  K  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  K  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 K ) )
48 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  K ) )
49 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  Q  ->  (
q `  K )  =  ( Q `  K ) )
5049eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q `  K
)  =  K  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
5150elrab 3266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  K ) )
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  ( Q `  K )  =  K )
5352ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Q `  K
)  =  K )
5448, 53sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( Q `  k )  =  K )
55 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
( Z  gsumg  U ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
5754, 56eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( ( Q `  k )  =  ( ( Z 
gsumg  U ) `  k
)  <->  K  =  (
( Z  gsumg  U ) `  K
) ) )
5847, 57mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
5958ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( k  =  K  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
6059adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( k  =  K  ->  ( Q `
 k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 k ) ) )
6160com12 31 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
62 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S 
gsumg  W )  ->  (
( Q  |`  ( N  \  { K }
) ) `  k
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
6362adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N 
\  { K }
) )  =  ( S  gsumg  W ) )  -> 
( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
6463ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 k ) )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 k ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N
)  ->  k  e.  N )
67 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =/=  K  <->  -.  k  =  K )
6867biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  K  -> 
k  =/=  K )
6966, 68anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K
) )
70 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K ) )
7169, 70sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  k  e.  ( N 
\  { K }
) )
72 fvres 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( Q `  k ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( Q `  k ) )
7473exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) ) ) )
7574ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) ) ) )
7675imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K }
) ) `  k
)  =  ( Q `
 k ) ) )
7776impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) )
7868anim2i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  -.  k  =  K
)  ->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K ) )
7978, 70sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  N  /\  -.  k  =  K
)  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) )
8079ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  k  e.  ( N 
\  { K }
) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( -.  k  =  K  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) ) )
8281impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) )
83 diffi 7763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
8483ancri 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
( N  \  { K } )  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
8584adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
8685ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
87 psgnfix.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
88 psgnfix.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
9087, 88, 89symgtrf 16365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( Base `  S )
91 sswrd 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T 
C_  ( Base `  S
)  -> Word  T  C_ Word  ( Base `  S ) )
9291sseld 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T 
C_  ( Base `  S
)  ->  ( W  e. Word  T  ->  W  e. Word  (
Base `  S )
) )
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  T  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
96 simpr2 1003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( # `  W )  =  ( # `  U
) )
9795, 32, 963jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) )
9886, 97jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( ( N 
\  { K }
)  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) ) )
9998ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
( N  \  { K } )  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) ) )
100 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )
101100ralimi 2860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
1021013ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )
104103ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
105 incom 3696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)  =  ( N  i^i  ( N  \  { K } ) )
106 indif 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  i^i  ( N  \  { K } ) )  =  ( N  \  { K } )
107105, 106eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)  =  ( N 
\  { K }
)
108107eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( N 
\  { K }
)  =  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)
10988, 89, 13, 26, 108gsmsymgreq 16328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S
)  /\  U  e. Word  (
Base `  Z )  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( S 
gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
11099, 104, 109sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )
111 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
112 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( Z  gsumg  U ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
113111, 112eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
114113rspcva 3217 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
11582, 110, 114syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
11665, 77, 1153eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
117116ex 434 . . . 4  |-  ( -.  k  =  K  -> 
( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( Q `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
11861, 117pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
1197, 22, 118eqfnfvd 5985 . 2  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) )
120119exp31 604 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) )  ->  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   ran crn 5006    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12514   Basecbs 14506    gsumg cgsu 14712   SymGrpcsymg 16273  pmTrspcpmtr 16337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-word 12522  df-concat 12524  df-s1 12525  df-substr 12526  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-tset 14590  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-subg 16069  df-symg 16274  df-pmtr 16338  df-psgn 16387
This theorem is referenced by:  psgndiflemA  18504
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