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Theorem psgndiflemB 18052
Description: Lemma 1 for psgndif 18054. (Contributed by AV, 27-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfix.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
psgnfix.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
psgnfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
psgnfix.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
psgnfix.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
Assertion
Ref Expression
psgndiflemB  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) )  ->  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    Q, q    i, K, n    i, N, n    S, i, n    U, i, n    i, W, n   
i, Z, n
Allowed substitution hints:    P( i, n)    Q( i, n)    R( i, n, q)    S( q)    T( i, n, q)    U( q)    N( q)    W( q)    Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemB
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3135 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  Q  e.  P )
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3 psgnfix.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
42, 3symgbasf 15910 . . . . 5  |-  ( Q  e.  P  ->  Q : N --> N )
5 ffn 5580 . . . . 5  |-  ( Q : N --> N  ->  Q  Fn  N )
61, 4, 53syl 20 . . . 4  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  Q  Fn  N )
76ad3antlr 730 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  Q  Fn  N )
8 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  N  e.  Fin )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  ->  N  e.  Fin )
11 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  U  e. Word  R )
1210, 11anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  U  e. Word  R ) )
13 psgnfix.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
1413eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  Z
1514fveq2i 5715 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  Z )
163, 15eqtri 2463 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  Z
)
17 psgnfix.r . . . . . 6  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
1813, 16, 17gsmtrcl 16043 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  U  e. Word  R )  ->  ( Z  gsumg  U )  e.  P
)
1912, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Z  gsumg  U )  e.  P
)
202, 3symgbasf 15910 . . . 4  |-  ( ( Z  gsumg  U )  e.  P  ->  ( Z  gsumg  U ) : N --> N )
21 ffn 5580 . . . 4  |-  ( ( Z  gsumg  U ) : N --> N  ->  ( Z  gsumg  U )  Fn  N )
2219, 20, 213syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Z  gsumg  U )  Fn  N
)
238ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  N  e.  Fin )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  K  e.  N )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  K  e.  N )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
2717, 13, 26symgtrf 15996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  C_  ( Base `  Z )
28 sswrd 12263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R 
C_  ( Base `  Z
)  -> Word  R  C_ Word  ( Base `  Z ) )
2928sseld 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R 
C_  ( Base `  Z
)  ->  ( U  e. Word  R  ->  U  e. Word  (
Base `  Z )
) )
3027, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e. Word  R  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
31303ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  U  e. Word  ( Base `  Z
) )
3323, 25, 323jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  K  e.  N  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
) ) )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)  ->  ( ( U `  i ) `  K )  =  K )
3534ralimi 2812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K )
36353ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
38 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  U )  =  ( # `  W
)  ->  ( 0..^ ( # `  U
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3938eqcoms 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  =  ( # `  U
)  ->  ( 0..^ ( # `  U
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
4039raleqdv 2944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  W )  =  ( # `  U
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
41403ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  U ) ) ( ( U `  i
) `  K )  =  K  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K ) )
4337, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K )
4413, 26gsmsymgrfix 15954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  U
) ) ( ( U `  i ) `
 K )  =  K  ->  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
)  =  K ) )
4533, 43, 44sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( Z  gsumg  U ) `
 K )  =  K )
4645eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  K  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  K  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 K ) )
48 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  K ) )
49 fveq1 5711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  Q  ->  (
q `  K )  =  ( Q `  K ) )
5049eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q `  K
)  =  K  <->  ( Q `  K )  =  K ) )
5150elrab 3138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  K ) )
5251simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  ->  ( Q `  K )  =  K )
5352ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Q `  K
)  =  K )
5448, 53sylan9eqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( Q `  k )  =  K )
55 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
( Z  gsumg  U ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  K
) )
5754, 56eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( ( Q `  k )  =  ( ( Z 
gsumg  U ) `  k
)  <->  K  =  (
( Z  gsumg  U ) `  K
) ) )
5847, 57mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  =  K )  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
5958ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( k  =  K  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
6059adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( k  =  K  ->  ( Q `
 k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 k ) ) )
6160com12 31 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
62 fveq1 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S 
gsumg  W )  ->  (
( Q  |`  ( N  \  { K }
) ) `  k
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
6362adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N 
\  { K }
) )  =  ( S  gsumg  W ) )  -> 
( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
6463ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 k ) )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( ( S  gsumg  W ) `
 k ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N
)  ->  k  e.  N )
67 df-ne 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =/=  K  <->  -.  k  =  K )
6867biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  =  K  -> 
k  =/=  K )
6966, 68anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K
) )
70 eldifsn 4021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  <->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K ) )
7169, 70sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  k  e.  ( N 
\  { K }
) )
72 fvres 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( Q `  k ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  k  e.  N )  /\  -.  k  =  K )  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `  k )  =  ( Q `  k ) )
7473exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) ) ) )
7574ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) ) ) )
7675imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( -.  k  =  K  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K }
) ) `  k
)  =  ( Q `
 k ) ) )
7776impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( Q  |`  ( N  \  { K } ) ) `
 k )  =  ( Q `  k
) )
7868anim2i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  N  /\  -.  k  =  K
)  ->  ( k  e.  N  /\  k  =/=  K ) )
7978, 70sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  N  /\  -.  k  =  K
)  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) )
8079ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  N  ->  ( -.  k  =  K  ->  k  e.  ( N 
\  { K }
) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( -.  k  =  K  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) ) )
8281impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  k  e.  ( N  \  { K } ) )
83 diffi 7564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
8483ancri 552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  Fin  ->  (
( N  \  { K } )  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )
)
8584adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
8685ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin ) )
87 psgnfix.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
88 psgnfix.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
89 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
9087, 88, 89symgtrf 15996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  ( Base `  S )
91 sswrd 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T 
C_  ( Base `  S
)  -> Word  T  C_ Word  ( Base `  S ) )
9291sseld 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T 
C_  ( Base `  S
)  ->  ( W  e. Word  T  ->  W  e. Word  (
Base `  S )
) )
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  T  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
9493ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  W  e. Word  ( Base `  S
) )
96 simpr2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( # `  W )  =  ( # `  U
) )
9795, 32, 963jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) )
9886, 97jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( ( ( N 
\  { K }
)  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) ) )
9998ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( (
( N  \  { K } )  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S )  /\  U  e. Word  ( Base `  Z
)  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) ) )
100 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
)  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )
101100ralimi 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
1021013ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( # `  W
) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) )
104103ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n ) )
105 incom 3564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)  =  ( N  i^i  ( N  \  { K } ) )
106 indif 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  i^i  ( N  \  { K } ) )  =  ( N  \  { K } )
107105, 106eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)  =  ( N 
\  { K }
)
108107eqcomi 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( N 
\  { K }
)  =  ( ( N  \  { K } )  i^i  N
)
10988, 89, 13, 26, 108gsmsymgreq 15958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  \  { K } )  e. 
Fin  /\  N  e.  Fin )  /\  ( W  e. Word  ( Base `  S
)  /\  U  e. Word  (
Base `  Z )  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `  n
)  =  ( ( U `  i ) `
 n )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( S 
gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) ) )
11099, 104, 109sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )
111 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( S  gsumg  W ) `  k
) )
112 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( Z  gsumg  U ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
113111, 112eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( S  gsumg  W ) `
 n )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `
 n )  <->  ( ( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
114113rspcva 3092 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( S  gsumg  W ) `  n
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  n
) )  ->  (
( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
11582, 110, 114syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( ( S  gsumg  W ) `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
11665, 77, 1153eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( -.  k  =  K  /\  ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
117116ex 434 . . . 4  |-  ( -.  k  =  K  -> 
( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  /\  k  e.  N )  ->  ( Q `  k
)  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) ) )
11861, 117pm2.61i 164 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  U )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( U `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( U `  i ) `  n
) ) ) )  /\  k  e.  N
)  ->  ( Q `  k )  =  ( ( Z  gsumg  U ) `  k
) )
1197, 22, 118eqfnfvd 5821 . 2  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) ) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) )
120119exp31 604 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) )  ->  ( ( U  e. Word  R  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  U
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( U `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( U `  i
) `  n )
) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   {crab 2740    \ cdif 3346    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   ran crn 4862    |` cres 4863    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   0cc0 9303  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242   Basecbs 14195    gsumg cgsu 14400   SymGrpcsymg 15903  pmTrspcpmtr 15968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-word 12250  df-concat 12252  df-s1 12253  df-substr 12254  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-tset 14278  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-subg 15699  df-symg 15904  df-pmtr 15969  df-psgn 16018
This theorem is referenced by:  psgndiflemA  18053
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