Theorem psgndiflemA 19246

Description: Lemma 2 for psgndif 19247. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfix.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
psgnfix.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.s	|- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.z	|- Z = ( SymGrp ` N )
psgnfix.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )

Assertion

Ref	Expression
psgndiflemA	|- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   K, q   P, q   Q, q

Allowed substitution hints:   R( q)   S( q)   T( q)   U( q)   N( q)   W( q)   Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemA

Dummy variables w i n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfix.t	. . . . . . . . . 10 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
2		psgnfix.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ran (pmTrsp ` N )
3	1, 2	pmtrdifwrdel2 17205	. . . . . . . . 9 |- ( K e. N -> A. w e. Word T E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
4		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
5	4	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( ( # ` w ) = ( # ` r ) <-> ( # ` W ) = ( # ` r ) ) )
6	4	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
7		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = W -> ( w ` i ) = ( W ` i ) )
8	7	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = W -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( W ` i ) ` n ) )
9	8	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = W -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) <-> ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
10	9	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = W -> ( A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) <-> A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
11	10	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> ( ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) <-> ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
12	6, 11	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
13	5, 12	anbi12d 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) <-> ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
14	13	rexbidv 2892	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) <-> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
15	14	rspccv 3133	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. Word T E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( W e. Word T -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> ( W e. Word T -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
17	16	com12 31	. . . . . . 7 |- ( W e. Word T -> ( K e. N -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
18	17	3ad2ant1 1051	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( K e. N -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
19	18	com12 31	. . . . 5 |- ( K e. N -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
20	19	ad2antlr 741	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
21	20	imp 436	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
22		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` W ) = ( # ` r ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
23	22	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
24	23	ad3antlr 745	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
25		psgnfix.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( SymGrp ` N )
26		simplll 776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> N e. Fin )
27	26	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> N e. Fin )
28		simplll 776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> r e. Word R )
29		simprr3 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> U e. Word R )
30	29	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> U e. Word R )
31		simplrl 778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) )
32		3simpa 1027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
33	32	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
34	33	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
35		simplrl 778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> ( # ` W ) = ( # ` r ) )
36	35	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( # ` W ) = ( # ` r ) )
37		simplrr 779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
39		psgnfix.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
40		psgnfix.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
41	39, 1, 40, 25, 2	psgndiflemB 19245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) -> ( ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> Q = ( Z gsumg r ) ) ) )
42	41	imp31 439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> Q = ( Z gsumg r ) )
43	42	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( Z gsumg r ) = Q )
44	31, 34, 28, 36, 38, 43	syl23anc 1299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( Z gsumg r ) = Q )
45		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) )
46	25	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SymGrp ` N ) = Z
47	46	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) = ( Z gsumg U )
48	45, 47	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> Q = ( Z gsumg U ) )
49	48	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> Q = ( Z gsumg U ) )
50	44, 49	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( Z gsumg r ) = ( Z gsumg U ) )
51	25, 2, 27, 28, 30, 50	psgnuni 17218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) )
52	24, 51	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) )
53	52	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) )
54	53	ex 441	. . . 4 |- ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )
55	54	rexlimiva 2868	. . 3 |- ( E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )
56	21, 55	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) )
57	56	ex 441	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   \ cdif 3387   {csn 3959   ran crn 4840   |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   -ucneg 9881  ..^cfzo 11942   ^cexp 12310   #chash 12553  Word cword 12703   Basecbs 15199   gsum_g cgsu 15417   SymGrpcsymg 17096  pmTrspcpmtr 17160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210

This theorem is referenced by:  psgndif  19247