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Theorem psgndiflemA 19246
Description: Lemma 2 for psgndif 19247. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfix.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
psgnfix.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
psgnfix.s  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
psgnfix.z  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
psgnfix.r  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
Assertion
Ref Expression
psgndiflemA  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
)  ->  ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  U
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    Q, q
Allowed substitution hints:    R( q)    S( q)    T( q)    U( q)    N( q)    W( q)    Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemA
Dummy variables  w  i  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnfix.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  ( N  \  { K }
) )
2 psgnfix.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ran  (pmTrsp `  N
)
31, 2pmtrdifwrdel2 17205 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  N  ->  A. w  e. Word  T E. r  e. Word  R ( ( # `  w )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )
4 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  W  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  W
) )
54eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  W  ->  (
( # `  w )  =  ( # `  r
)  <->  ( # `  W
)  =  ( # `  r ) ) )
64oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  W  ->  (
0..^ ( # `  w
) )  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
7 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  (
w `  i )  =  ( W `  i ) )
87fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  (
( w `  i
) `  n )  =  ( ( W `
 i ) `  n ) )
98eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( w `  i ) `  n
)  =  ( ( r `  i ) `
 n )  <->  ( ( W `  i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) )
109ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  W  ->  ( A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( ( w `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )  <->  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) )
1110anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( r `
 i ) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) )  <->  ( (
( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )
126, 11raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  W  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  w
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) ) )
135, 12anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( # `  w
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )  <->  ( ( # `
 W )  =  ( # `  r
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) ) ) )
1413rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( E. r  e. Word  R ( ( # `  w
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )  <->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
1514rspccv 3133 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e. Word  T E. r  e. Word  R ( ( # `  w )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  w
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( w `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )  -> 
( W  e. Word  T  ->  E. r  e. Word  R
( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
163, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  ( W  e. Word  T  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
1716com12 31 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Word  T  ->  ( K  e.  N  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
18173ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N 
\  { K }
) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R )  ->  ( K  e.  N  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
1918com12 31 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  (
( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R )  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
2019ad2antlr 741 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
)  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) ) )
2120imp 436 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
) )  ->  E. r  e. Word  R ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )
22 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  W )  =  ( # `  r
)  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 r ) ) )
2322adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  r
) ) )
2423ad3antlr 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  r
) ) )
25 psgnfix.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( SymGrp `  N )
26 simplll 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
) )  ->  N  e.  Fin )
2726ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  N  e.  Fin )
28 simplll 776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  r  e. Word  R )
29 simprr3 1080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  ->  U  e. Word  R
)
3029adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  U  e. Word  R )
31 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
) )
32 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N 
\  { K }
) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R )  ->  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )
3332adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
) )  ->  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )
3433ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )
35 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  r ) )
3635adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  r
) )
37 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )
3837adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) )
39 psgnfix.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
40 psgnfix.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
4139, 1, 40, 25, 2psgndiflemB 19245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) )  ->  ( (
r  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  r
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  r ) ) ) )
4241imp31 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  (
r  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  r
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) ) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  r ) )
4342eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W ) ) )  /\  (
r  e. Word  R  /\  ( # `  W )  =  ( # `  r
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( ( ( r `  i ) `  K
)  =  K  /\  A. n  e.  ( N 
\  { K }
) ( ( W `
 i ) `  n )  =  ( ( r `  i
) `  n )
) ) )  -> 
( Z  gsumg  r )  =  Q )
4431, 34, 28, 36, 38, 43syl23anc 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( Z  gsumg  r )  =  Q )
45 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )
4625eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( SymGrp `  N )  =  Z
4746oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
SymGrp `  N )  gsumg  U )  =  ( Z  gsumg  U )
4845, 47syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) )
4948adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  Q  =  ( Z  gsumg  U ) )
5044, 49eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( Z  gsumg  r )  =  ( Z  gsumg  U ) )
5125, 2, 27, 28, 30, 50psgnuni 17218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  r ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  U
) ) )
5224, 51eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W )  =  (
# `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  /\  Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  U
) ) )
5352ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) ) )  ->  ( Q  =  ( ( SymGrp `  N
)  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  U
) ) ) )
5453ex 441 . . . 4  |-  ( ( r  e. Word  R  /\  ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) )  -> 
( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 U ) ) ) ) )
5554rexlimiva 2868 . . 3  |-  ( E. r  e. Word  R ( ( # `  W
)  =  ( # `  r )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( ( ( r `  i
) `  K )  =  K  /\  A. n  e.  ( N  \  { K } ) ( ( W `  i ) `
 n )  =  ( ( r `  i ) `  n
) ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R ) )  -> 
( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 U ) ) ) ) )
5621, 55mpcom 36 . 2  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } )  /\  ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
) )  ->  ( Q  =  ( ( SymGrp `
 N )  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 U ) ) ) )
5756ex 441 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  /\  Q  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( W  e. Word  T  /\  ( Q  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( S  gsumg  W )  /\  U  e. Word  R
)  ->  ( Q  =  ( ( SymGrp `  N )  gsumg  U )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  W ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  U
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387   {csn 3959   ran crn 4840    |` cres 4841   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   -ucneg 9881  ..^cfzo 11942   ^cexp 12310   #chash 12553  Word cword 12703   Basecbs 15199    gsumg cgsu 15417   SymGrpcsymg 17096  pmTrspcpmtr 17160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210
This theorem is referenced by:  psgndif  19247
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