MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnco Structured version   Unicode version

Theorem psgnco 18011
Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
psgninv.n  |-  N  =  (pmSgn `  D )
psgninv.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
psgnco  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( N `  ( F  o.  G )
)  =  ( ( N `  F )  x.  ( N `  G ) ) )

Proof of Theorem psgnco
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
2 psgninv.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
41, 2, 3symgov 15893 . . . 4  |-  ( ( F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( F ( +g  `  S ) G )  =  ( F  o.  G ) )
543adant1 1006 . . 3  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( F ( +g  `  S ) G )  =  ( F  o.  G ) )
65fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( N `  ( F ( +g  `  S
) G ) )  =  ( N `  ( F  o.  G
) ) )
7 psgninv.n . . . 4  |-  N  =  (pmSgn `  D )
8 eqid 2441 . . . 4  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
91, 7, 8psgnghm2 18009 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  N  e.  ( S  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
10 prex 4532 . . . . 5  |-  { 1 ,  -u 1 }  e.  _V
11 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
12 cnfldmul 17822 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
1311, 12mgpplusg 16593 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
148, 13ressplusg 14278 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  -u 1 }  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
1510, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
162, 3, 15ghmlin 15750 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( S 
GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P
)  ->  ( N `  ( F ( +g  `  S ) G ) )  =  ( ( N `  F )  x.  ( N `  G ) ) )
179, 16syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( N `  ( F ( +g  `  S
) G ) )  =  ( ( N `
 F )  x.  ( N `  G
) ) )
186, 17eqtr3d 2475 1  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  F  e.  P  /\  G  e.  P )  ->  ( N `  ( F  o.  G )
)  =  ( ( N `  F )  x.  ( N `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2970   {cpr 3877    o. ccom 4842   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   1c1 9281    x. cmul 9285   -ucneg 9594   Basecbs 14172   ↾s cress 14173   +g cplusg 14236    GrpHom cghm 15742   SymGrpcsymg 15880  pmSgncpsgn 15993  mulGrpcmgp 16589  ℂfldccnfld 17816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-ot 3884  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-substr 12231  df-splice 12232  df-reverse 12233  df-s2 12473  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-subg 15676  df-ghm 15743  df-gim 15785  df-oppg 15859  df-symg 15881  df-pmtr 15946  df-psgn 15995  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-dvr 16773  df-drng 16832  df-cnfld 17817
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator