MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgn0fv0 Structured version   Unicode version

Theorem psgn0fv0 16750
Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
psgn0fv0  |-  ( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1

Proof of Theorem psgn0fv0
StepHypRef Expression
1 0ex 4523 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 wrd0 12523 . 2  |-  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) )
3 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  (/) ) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
43gsum0 16119 . . . . 5  |-  ( (
SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
5 eqid 2400 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  (/) )  =  ( SymGrp `
 (/) )
65symgid 16640 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (  _I  |`  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) ) )
71, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
8 res0 5217 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  (/) )  =  (/)
97, 8eqtr3i 2431 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  (/) ) )  =  (/)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( 0g `  ( SymGrp `
 (/) ) )  =  (/) )
114, 10syl5req 2454 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  ->  (/)  =  ( ( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) )
1211fveq2d 5807 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  ( (pmSgn `  (/) ) `  (
( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) ) )
13 eqid 2400 . . . 4  |-  ran  (pmTrsp `  (/) )  =  ran  (pmTrsp `  (/) )
14 eqid 2400 . . . 4  |-  (pmSgn `  (/) )  =  (pmSgn `  (/) )
155, 13, 14psgnvalii 16748 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  ( ( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) ) )
16 hash0 12390 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
1716oveq2i 6243 . . . . 5  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
18 neg1cn 10598 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
19 exp0 12122 . . . . . 6  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
2117, 20eqtri 2429 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
2221a1i 11 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 (/) ) )  =  1 )
2312, 15, 223eqtrd 2445 . 2  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1 )
241, 2, 23mp2an 670 1  |-  ( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056   (/)c0 3735    _I cid 4730   ran crn 4941    |` cres 4942   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440   1c1 9441   -ucneg 9760   ^cexp 12118   #chash 12357  Word cword 12488   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945   SymGrpcsymg 16616  pmTrspcpmtr 16680  pmSgncpsgn 16728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-xor 1365  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-ot 3978  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-word 12496  df-lsw 12497  df-concat 12498  df-s1 12499  df-substr 12500  df-splice 12501  df-reverse 12502  df-s2 12774  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-tset 14818  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-gim 16521  df-oppg 16595  df-symg 16617  df-pmtr 16681  df-psgn 16730
This theorem is referenced by:  mdet0pr  19276
  Copyright terms: Public domain W3C validator