MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgn0fv0 Structured version   Unicode version

Theorem psgn0fv0 16140
Description: The permutation sign function for an empty set at an empty set is 1. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
psgn0fv0  |-  ( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1

Proof of Theorem psgn0fv0
StepHypRef Expression
1 0ex 4533 . 2  |-  (/)  e.  _V
2 wrd0 12374 . 2  |-  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  (/) ) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
43gsum0 15633 . . . . 5  |-  ( (
SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
5 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  (/) )  =  ( SymGrp `
 (/) )
65symgid 16029 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  (  _I  |`  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) ) )
71, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  (/) )  =  ( 0g `  ( SymGrp `  (/) ) )
8 res0 5226 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  (/) )  =  (/)
97, 8eqtr3i 2485 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  ( SymGrp `  (/) ) )  =  (/)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( 0g `  ( SymGrp `
 (/) ) )  =  (/) )
114, 10syl5req 2508 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  ->  (/)  =  ( ( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) )
1211fveq2d 5806 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  ( (pmSgn `  (/) ) `  (
( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (pmTrsp `  (/) )  =  ran  (pmTrsp `  (/) )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  (pmSgn `  (/) )  =  (pmSgn `  (/) )
155, 13, 14psgnvalii 16138 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  ( ( SymGrp `  (/) )  gsumg  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ ( # `  (/) ) ) )
16 hash0 12256 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
1716oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  ( -u 1 ^ 0 )
18 neg1cn 10540 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
19 exp0 11990 . . . . . 6  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
2117, 20eqtri 2483 . . . 4  |-  ( -u
1 ^ ( # `  (/) ) )  =  1
2221a1i 11 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 (/) ) )  =  1 )
2312, 15, 223eqtrd 2499 . 2  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e. Word  ran  (pmTrsp `  (/) ) )  -> 
( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1 )
241, 2, 23mp2an 672 1  |-  ( (pmSgn `  (/) ) `  (/) )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748    _I cid 4742   ran crn 4952    |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   0cc0 9397   1c1 9398   -ucneg 9711   ^cexp 11986   #chash 12224  Word cword 12343   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   SymGrpcsymg 16005  pmTrspcpmtr 16070  pmSgncpsgn 16118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-substr 12355  df-splice 12356  df-reverse 12357  df-s2 12597  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-tset 14380  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-gim 15910  df-oppg 15984  df-symg 16006  df-pmtr 16071  df-psgn 16120
This theorem is referenced by:  mdet0pr  18540
  Copyright terms: Public domain W3C validator