MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Unicode version

Theorem pserval2 22535
Description: Value of the function  G that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserval2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    G( x, n)    N( x)    X( x, n)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
21pserval 22534 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( G `  X )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) ) )
32fveq1d 5861 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( G `  X
) `  N )  =  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N ) )
4 fveq2 5859 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A `  y )  =  ( A `  N ) )
5 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( X ^ y )  =  ( X ^ N
) )
64, 5oveq12d 6295 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  (
( A `  y
)  x.  ( X ^ y ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( X ^ N
) ) )
7 eqid 2462 . . 3  |-  ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) )
8 ovex 6302 . . 3  |-  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5943 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N )  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
103, 9sylan9eq 2523 1  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    x. cmul 9488   NN0cn0 10786   ^cexp 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10528  df-n0 10787
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  22537  radcnv0  22540  dvradcnv  22545  pserulm  22546  psercn2  22547  pserdvlem2  22552  abelth  22565
  Copyright terms: Public domain W3C validator