MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Unicode version

Theorem pserval2 21819
Description: Value of the function  G that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserval2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    G( x, n)    N( x)    X( x, n)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
21pserval 21818 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( G `  X )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) ) )
32fveq1d 5690 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( G `  X
) `  N )  =  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N ) )
4 fveq2 5688 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A `  y )  =  ( A `  N ) )
5 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( X ^ y )  =  ( X ^ N
) )
64, 5oveq12d 6108 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  (
( A `  y
)  x.  ( X ^ y ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( X ^ N
) ) )
7 eqid 2441 . . 3  |-  ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) )
8 ovex 6115 . . 3  |-  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5771 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N )  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
103, 9sylan9eq 2493 1  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276    x. cmul 9283   NN0cn0 10575   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-nn 10319  df-n0 10576
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  21821  radcnv0  21824  dvradcnv  21829  pserulm  21830  psercn2  21831  pserdvlem2  21836  abelth  21849
  Copyright terms: Public domain W3C validator