MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserval2 Structured version   Unicode version

Theorem pserval2 22931
Description: Value of the function  G that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserval2  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, N
Allowed substitution hints:    G( x, n)    N( x)    X( x, n)

Proof of Theorem pserval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
21pserval 22930 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( G `  X )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) ) )
32fveq1d 5874 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( G `  X
) `  N )  =  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N ) )
4 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( A `  y )  =  ( A `  N ) )
5 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  ( X ^ y )  =  ( X ^ N
) )
64, 5oveq12d 6314 . . 3  |-  ( y  =  N  ->  (
( A `  y
)  x.  ( X ^ y ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( X ^ N
) ) )
7 eqid 2457 . . 3  |-  ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 y )  x.  ( X ^ y
) ) )
8 ovex 6324 . . 3  |-  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5956 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( y  e.  NN0  |->  ( ( A `  y )  x.  ( X ^
y ) ) ) `
 N )  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
103, 9sylan9eq 2518 1  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  N
)  =  ( ( A `  N )  x.  ( X ^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507    x. cmul 9514   NN0cn0 10816   ^cexp 12168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-n0 10817
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  22933  radcnv0  22936  dvradcnv  22941  pserulm  22942  psercn2  22943  pserdvlem2  22948  abelth  22961
  Copyright terms: Public domain W3C validator