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Theorem pserulm 22023
Description: If  S is a region contained in a circle of radius  M  <  R, then the sequence of partial sums of the infinite series converges uniformly on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
pserulm  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem pserulm
Dummy variables  k  m  w  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserulm.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
3 0xr 9544 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
4 pserulm.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
54rexrd 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
6 icc0 11462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  (
( 0 [,] M
)  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] M )  =  (/)  <->  M  <  0 ) )
87biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  (
0 [,] M )  =  (/) )
98imaeq2d 5280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  ( `' abs "
(/) ) )
10 ima0 5295 . . . . . 6  |-  ( `' abs " (/) )  =  (/)
119, 10syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  =  (/) )
122, 11sseqtrd 3503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  C_  (/) )
13 ss0 3779 . . . 4  |-  ( S 
C_  (/)  ->  S  =  (/) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  S  =  (/) )
15 nn0uz 11009 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
16 0zd 10772 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
17 0zd 10772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
18 pserf.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
19 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
21 cnvimass 5300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
22 absf 12946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  abs : CC
--> RR
2322fdmi 5675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  abs  =  CC
2421, 23sseqtri 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
251, 24syl6ss 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
2625sselda 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
2718, 20, 26psergf 22013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y ) : NN0 --> CC )
2827ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  e.  CC )
2915, 17, 28serf 11954 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) : NN0 --> CC )
3029ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
3130an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  S )  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  CC )
32 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3331, 32fmptd 5979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC )
34 cnex 9477 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
35 ssexg 4549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3625, 34, 35sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
38 elmapg 7340 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) : S --> CC ) )
3934, 37, 38sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
4033, 39mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
41 pserulm.h . . . . 5  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
4240, 41fmptd 5979 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
43 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( G `  y
) `  j )  =  ( ( G `
 y ) `  j ) )
44 pserf.r . . . . . . 7  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
451sselda 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  ( `' abs " (
0 [,] M ) ) )
46 ffn 5670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
47 elpreima 5935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) ) )
4822, 46, 47mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
4945, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  e.  CC  /\  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M ) ) )
5049simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  ( 0 [,] M
) )
51 0re 9500 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR )
53 elicc2 11474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5451, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  ( 0 [,] M )  <->  ( ( abs `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) ) )
5550, 54mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  y
)  /\  ( abs `  y )  <_  M
) )
5655simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5756rexrd 9547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  e. 
RR* )
585adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
59 iccssxr 11492 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6018, 19, 44radcnvcl 22018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6159, 60sseldi 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
6261adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
6355simp3d 1002 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  <_  M )
64 pserulm.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <  R )
6564adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  M  <  R )
6657, 58, 62, 63, 65xrlelttrd 11248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  y )  < 
R )
6718, 20, 44, 26, 66radcnvlt2 22020 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) )  e.  dom  ~~>  )
6815, 17, 43, 28, 67isumcl 13349 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  CC )
69 pserf.f . . . . 5  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
7068, 69fmptd 5979 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
7115, 16, 42, 70ulm0 21992 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  (/) )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
7214, 71syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <  0 )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
73 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
7473, 15syl6eleq 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
75 elfznn0 11601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
7675adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
7736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  S  e.  _V )
78 mptexg 6059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
)  e.  _V )
80 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  w )  =  ( G `  y ) )
8180fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
( G `  w
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  m ) )
8281cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  m ) )
83 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  y
) `  m )  =  ( ( G `
 y ) `  k ) )
8483mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
8582, 84syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) )
8785, 86fvmptg 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) )  e.  _V )  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
8876, 79, 87syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) )
8937, 74, 88seqof 11983 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
9089eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  =  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
9190mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
92 0z 10771 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
93 seqfn 11938 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  seq 0
(  oF  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
0 )
9515fneq2i 5617 . . . . . . . 8  |-  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  ( ZZ>=
`  0 ) )
9694, 95mpbir 209 . . . . . . 7  |-  seq 0
(  oF  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  Fn  NN0
97 dffn5 5849 . . . . . . 7  |-  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  Fn  NN0  <->  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) ) )
9896, 97mpbi 208 . . . . . 6  |-  seq 0
(  oF  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  (  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) `  i
) )
9991, 41, 983eqtr4g 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  seq 0
(  oF  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) ) )
10099adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  =  seq 0 (  oF  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) ) )
101 0zd 10772 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  0  e.  ZZ )
10236adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  S  e.  _V )
10319adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
10425sselda 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  w  e.  CC )
10518, 103, 104psergf 22013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w ) : NN0 --> CC )
106105ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
107106an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
) `  m )  e.  CC )
108 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  =  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )
109107, 108fmptd 5979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC )
11036adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
111 elmapg 7340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) )  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) : S --> CC ) )
11234, 110, 111sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
w  e.  S  |->  ( ( G `  w
) `  m )
)  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) : S --> CC ) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
114113, 86fmptd 5979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) : NN0 --> ( CC  ^m  S ) )
115114adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
116 fex 6062 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
11722, 34, 116mp2an 672 . . . . . . 7  |-  abs  e.  _V
118 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( G `
 M )  e. 
_V
119117, 118coex 6642 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  ( G `  M ) )  e. 
_V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) )  e.  _V )
12119adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  A : NN0
--> CC )
1224adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
123122recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
12418, 121, 123psergf 22013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
125 fco 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  ( G `  M ) : NN0 --> CC )  ->  ( abs  o.  ( G `  M ) ) : NN0 --> RR )
12622, 124, 125sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs  o.  ( G `  M
) ) : NN0 --> RR )
127126ffvelrnda 5955 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( abs  o.  ( G `  M )
) `  k )  e.  RR )
12825ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  C_  CC )
129 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  S )
130128, 129sseldd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  z  e.  CC )
131 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  k  e.  NN0 )
132130, 131expcld 12128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
133132abscld 13043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  e.  RR )
134123adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  CC )
135134, 131expcld 12128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( M ^ k )  e.  CC )
136135abscld 13043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  e.  RR )
13719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A : NN0
--> CC )
138137, 131ffvelrnd 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( A `  k )  e.  CC )
139138abscld 13043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( A `  k
) )  e.  RR )
140138absge0d 13051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( A `
 k ) ) )
141130abscld 13043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
1424ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  M  e.  RR )
143130absge0d 13051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
14463ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M )
145144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M
)
146 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  z
) )
147146breq1d 4413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  y
)  <_  M  <->  ( abs `  z )  <_  M
) )
148147rspcv 3175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( abs `  y )  <_  M  ->  ( abs `  z )  <_  M ) )
149129, 145, 148sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  z )  <_  M
)
150 leexp1a 12042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  ( abs `  z )  /\  ( abs `  z )  <_  M ) )  -> 
( ( abs `  z
) ^ k )  <_  ( M ^
k ) )
151141, 142, 131, 143, 149, 150syl32anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  z ) ^
k )  <_  ( M ^ k ) )
152130, 131absexpd 13059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  =  ( ( abs `  z
) ^ k ) )
153134, 131absexpd 13059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( ( abs `  M
) ^ k ) )
154 absid 12906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
1554, 154sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  =  M )
156155adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  M )  =  M )
157156oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  M ) ^
k )  =  ( M ^ k ) )
158153, 157eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( M ^ k
) )  =  ( M ^ k ) )
159151, 152, 1583brtr4d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( z ^ k
) )  <_  ( abs `  ( M ^
k ) ) )
160133, 136, 139, 140, 159lemul2ad 10387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( abs `  (
z ^ k ) ) )  <_  (
( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( M ^ k
) ) ) )
161138, 132absmuld 13061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( abs `  ( z ^ k
) ) ) )
162138, 135absmuld 13061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  ( M ^ k ) ) ) )
163160, 161, 1623brtr4d 4433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( M ^ k
) ) ) )
16436ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  S  e.  _V )
165164, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  e.  _V )
166131, 165, 87syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) ) )
167166fveq1d 5804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )
)
168 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
169168fveq1d 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
) `  k )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
170 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `
 k ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( G `
 y ) `  k ) )
171 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  z ) `
 k )  e. 
_V
172169, 170, 171fvmpt 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( y  e.  S  |->  ( ( G `  y ) `  k
) ) `  z
)  =  ( ( G `  z ) `
 k ) )
173172ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
y  e.  S  |->  ( ( G `  y
) `  k )
) `  z )  =  ( ( G `
 z ) `  k ) )
17418pserval2 22012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  z ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
175130, 131, 174syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  z ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) )
176167, 173, 1753eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( (
( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `  m
) ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) ) )
177176fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) )
178124adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( G `  M ) : NN0 --> CC )
179 fvco3 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  M
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  k )
) )
180178, 131, 179syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  M ) `
 k ) ) )
18118pserval2 22012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  M ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) )
182134, 131, 181syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( G `  M ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( M ^ k ) ) )
183182fveq2d 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  M ) `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
184180, 183eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( abs  o.  ( G `  M ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( M ^
k ) ) ) )
185163, 177, 1843brtr4d 4433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  M )  /\  (
k  e.  NN0  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( ( m  e.  NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `  w ) `
 m ) ) ) `  k ) `
 z ) )  <_  ( ( abs 
o.  ( G `  M ) ) `  k ) )
18664adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  M  <  R )
187155, 186eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  ( abs `  M )  <  R
)
188 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
189 fveq2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  m  ->  (
( G `  M
) `  i )  =  ( ( G `
 M ) `  m ) )
190189fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  M
) `  m )
) )
191188, 190oveq12d 6221 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  M ) `  i
) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
192191cbvmptv 4494 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  M
) `  i )
) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  m ) ) ) )
19318, 121, 44, 123, 187, 192radcnvlt1 22019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  (  seq 0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 M ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\ 
seq 0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  M ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
194193simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq 0
(  +  ,  ( abs  o.  ( G `
 M ) ) )  e.  dom  ~~>  )
19515, 101, 102, 115, 120, 127, 185, 194mtest 22005 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  seq 0
(  oF  +  ,  ( m  e. 
NN0  |->  ( w  e.  S  |->  ( ( G `
 w ) `  m ) ) ) )  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
196100, 195eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )
197 eldmg 5146 . . . . . 6  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  <->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f ) )
198197ibi 241 . . . . 5  |-  ( H  e.  dom  ( ~~> u `  S )  ->  E. f  H ( ~~> u `  S ) f )
199 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) f )
200 ulmcl 21982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H ( ~~> u `  S
) f  ->  f : S --> CC )
201200adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f : S --> CC )
202201feqmptd 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
203 0zd 10772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
204 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  =  ( ( G `  y
) `  j )
)
20527adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  ( G `  y
) : NN0 --> CC )
206205ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  y ) `  j )  e.  CC )
20742ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H : NN0 --> ( CC 
^m  S ) )
208 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
209 seqex 11928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) )  e.  _V
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) )  e. 
_V )
211 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
21236ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  e.  _V )
213 mptexg 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  _V  ->  (
y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e. 
_V )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  _V )
21541fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) )  e.  _V )  -> 
( H `  i
)  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
216211, 214, 215syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( H `  i )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
217216fveq1d 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  ( ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) `
 y ) )
218 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  y  e.  S )
219 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
)  e.  _V
22032fvmpt2 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  S  /\  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) `  y
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
221218, 219, 220sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) `  y )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
222217, 221eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  H ( ~~> u `  S ) f )  /\  y  e.  S
)  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( H `  i ) `  y )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
223 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) f )
22415, 203, 207, 208, 210, 222, 223ulmclm 21988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) )  ~~>  ( f `
 y ) )
22515, 203, 204, 206, 224isumclim 13345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  H
( ~~> u `  S
) f )  /\  y  e.  S )  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
)  =  ( f `
 y ) )
226225mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  (
y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  =  ( y  e.  S  |->  ( f `
 y ) ) )
22769, 226syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  F  =  ( y  e.  S  |->  ( f `  y ) ) )
228202, 227eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  f  =  F )
229199, 228breqtrd 4427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  H ( ~~> u `  S )
f )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
230229ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H ( ~~> u `  S ) f  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
231230exlimdv 1691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  H ( ~~> u `  S
) f  ->  H
( ~~> u `  S
) F ) )
232198, 231syl5 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  e.  dom  (
~~> u `  S )  ->  H ( ~~> u `  S ) F ) )
233232imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  H  e.  dom  ( ~~> u `  S
) )  ->  H
( ~~> u `  S
) F )
234196, 233syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <_  M )  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
235 0red 9501 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
23672, 234, 4, 235ltlecasei 9596 1  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   "cima 4954    o. ccom 4955    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431    ^m cmap 7327   supcsup 7804   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    + caddc 9399    x. cmul 9401   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   [,]cicc 11417   ...cfz 11557    seqcseq 11926   ^cexp 11985   abscabs 12844    ~~> cli 13083   sum_csu 13284   ~~> uculm 21977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ulm 21978
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