MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psergf Structured version   Unicode version

Theorem psergf 22534
Description: The sequence of terms in the infinite sequence defining a power series for fixed  X. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
psergf  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem psergf
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnv.a . 2  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 psergf.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3 ffvelrn 6010 . . . . . 6  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
43adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( A : NN0 --> CC 
/\  X  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
5 expcl 12140 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
65adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( A : NN0 --> CC 
/\  X  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( X ^
m )  e.  CC )
74, 6mulcld 9605 . . . 4  |-  ( ( ( A : NN0 --> CC 
/\  X  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  e.  CC )
8 eqid 2460 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )
97, 8fmptd 6036 . . 3  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) ) : NN0 --> CC )
10 pser.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1110pserval 22532 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( G `  X )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  X
)  =  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) )
1312feq1d 5708 . . 3  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( G `  X ) : NN0 --> CC  <->  ( m  e.  NN0  |->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) : NN0 --> CC ) )
149, 13mpbird 232 . 2  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
151, 2, 14syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479    x. cmul 9486   NN0cn0 10784   ^cexp 12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-seq 12064  df-exp 12123
This theorem is referenced by:  radcnvlem1  22535  radcnvlem2  22536  radcnvlem3  22537  radcnv0  22538  radcnvlt2  22541  dvradcnv  22543  pserulm  22544  pserdvlem2  22550
  Copyright terms: Public domain W3C validator