MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Structured version   Unicode version

Theorem psercn2 21910
Description: Since by pserulm 21909 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 21886. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
psercn2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem psercn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10916 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10679 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 pserulm.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
4 cnvimass 5210 . . . . . . . 8  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
5 absf 12846 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
65fdmi 5585 . . . . . . . 8  |-  dom  abs  =  CC
74, 6sseqtri 3409 . . . . . . 7  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
83, 7syl6ss 3389 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
10 resmpt 5177 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
12 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  y  e.  CC )
13 elfznn0 11502 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
1413adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  k  e.  NN0 )
15 pserf.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1615pserval2 21898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )
1712, 14, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( G `
 y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
1918, 1syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
21 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
2322ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2423adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
25 expcl 11904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
2625adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( y ^
k )  e.  CC )
2724, 26mulcld 9427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
2813, 27sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
2917, 20, 28fsumser 13228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... i
) ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  =  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3029mpteq2dva 4399 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3231cnfldtopon 20384 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
34 fzfid 11816 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... i )  e. 
Fin )
3532a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )
36 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
3722, 13, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
3835, 35, 37cnmptc 19257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A `  k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3913adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
4031expcn 20470 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4231mulcn 20465 . . . . . . . . . 10  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4342a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4435, 38, 41, 43cnmpt12f 19261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4531, 33, 34, 44fsumcn 20468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4631cncfcn1 20508 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4745, 46syl6eleqr 2534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4830, 47eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
49 rescncf 20495 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) ) )
509, 48, 49sylc 60 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) )
5111, 50eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( S -cn-> CC ) )
52 pserulm.h . . 3  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq 0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
5351, 52fmptd 5888 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( S
-cn-> CC ) )
54 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
55 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
56 pserulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
57 pserulm.l . . 3  |-  ( ph  ->  M  <  R )
5815, 54, 21, 55, 52, 56, 57, 3pserulm 21909 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
591, 2, 53, 58ulmcn 21886 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    + caddc 9306    x. cmul 9308   RR*cxr 9438    < clt 9439   NN0cn0 10600   ZZ>=cuz 10882   [,]cicc 11324   ...cfz 11458    seqcseq 11827   ^cexp 11886   abscabs 12744    ~~> cli 12983   sum_csu 13184   TopOpenctopn 14381  ℂfldccnfld 17840  TopOnctopon 18521    Cn ccn 18850    tX ctx 19155   -cn->ccncf 20474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-ulm 21864
This theorem is referenced by:  psercn  21913
  Copyright terms: Public domain W3C validator