MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Unicode version

Theorem psercn2 20292
Description: Since by pserulm 20291 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 20268. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
pserulm.h  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
pserulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
pserulm.l  |-  ( ph  ->  M  <  R )
pserulm.y  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
Assertion
Ref Expression
psercn2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, n, r, x, y, A    i,
j, y, H    i, M, j, y    x, i, r    i, G, j, r, y    S, i, j, y    ph, i,
j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( i)    R( x, y, i, j, n, r)    S( x, n, r)    F( x, y, i, j, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)    M( x, n, r)

Proof of Theorem psercn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10476 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10249 . . 3  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 pserulm.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
5 cnvimass 5183 . . . . . . . 8  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  dom  abs
6 absf 12096 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
76fdmi 5555 . . . . . . . 8  |-  dom  abs  =  CC
85, 7sseqtri 3340 . . . . . . 7  |-  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  CC
94, 8syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
11 resmpt 5150 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
13 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  y  e.  CC )
14 elfznn0 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... i )  ->  k  e.  NN0 )
1514adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  k  e.  NN0 )
16 pserf.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1716pserval2 20280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )
1813, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( G `
 y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )
19 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
2019, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
22 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  A : NN0
--> CC )
2423ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2524adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
26 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
2726adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( y ^
k )  e.  CC )
2825, 27mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
2914, 28sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... i ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  e.  CC )
3018, 21, 29fsumser 12479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  y  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... i
) ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) )  =  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )
3130mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
32 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3332cnfldtopon 18770 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
)
35 fzfid 11267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... i )  e. 
Fin )
3633a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )
37 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
3823, 14, 37syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
3936, 36, 38cnmptc 17647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A `  k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4014adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  k  e.  NN0 )
4132expcn 18855 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ k ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4332mulcn 18850 . . . . . . . . . 10  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4536, 39, 42, 44cnmpt12f 17651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... i
) )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) ) )  e.  ( (
TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
4632, 34, 35, 45fsumcn 18853 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
4732cncfcn1 18893 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
4846, 47syl6eleqr 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... i ) ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4931, 48eqeltrrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  CC  |->  (  seq  0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
50 rescncf 18880 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) ) )
5110, 49, 50sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
y  e.  CC  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) )  |`  S )  e.  ( S -cn-> CC ) )
5212, 51eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )  e.  ( S -cn-> CC ) )
53 pserulm.h . . 3  |-  H  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  S  |->  (  seq  0 (  +  ,  ( G `
 y ) ) `
 i ) ) )
5452, 53fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> ( S
-cn-> CC ) )
55 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
56 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
57 pserulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
58 pserulm.l . . 3  |-  ( ph  ->  M  <  R )
5916, 55, 22, 56, 53, 57, 58, 4pserulm 20291 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> u `  S ) F )
601, 3, 54, 59ulmcn 20268 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   -cn->ccncf 18859
This theorem is referenced by:  psercn  20295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ulm 20246
  Copyright terms: Public domain W3C validator