Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercn2 Unicode version

Theorem psercn2 20292
 Description: Since by pserulm 20291 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 20268. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g
pserf.f
pserf.a
pserf.r
pserulm.h
pserulm.m
pserulm.l
pserulm.y
Assertion
Ref Expression
psercn2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,,,,,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem psercn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10476 . 2
2 0z 10249 . . 3
32a1i 11 . 2
4 pserulm.y . . . . . . 7
5 cnvimass 5183 . . . . . . . 8
6 absf 12096 . . . . . . . . 9
76fdmi 5555 . . . . . . . 8
85, 7sseqtri 3340 . . . . . . 7
94, 8syl6ss 3320 . . . . . 6
109adantr 452 . . . . 5
11 resmpt 5150 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
13 simplr 732 . . . . . . . . 9
14 elfznn0 11039 . . . . . . . . . 10
1514adantl 453 . . . . . . . . 9
16 pserf.g . . . . . . . . . 10
1716pserval2 20280 . . . . . . . . 9
1813, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8
19 simpr 448 . . . . . . . . . 10
2019, 1syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9
2120adantr 452 . . . . . . . 8
22 pserf.a . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
2423ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11
2524adantlr 696 . . . . . . . . . 10
26 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11
2726adantll 695 . . . . . . . . . 10
2825, 27mulcld 9064 . . . . . . . . 9
2914, 28sylan2 461 . . . . . . . 8
3018, 21, 29fsumser 12479 . . . . . . 7
3130mpteq2dva 4255 . . . . . 6
32 eqid 2404 . . . . . . . 8 fld fld
3332cnfldtopon 18770 . . . . . . . . 9 fld TopOn
3433a1i 11 . . . . . . . 8 fld TopOn
35 fzfid 11267 . . . . . . . 8
3633a1i 11 . . . . . . . . 9 fld TopOn
37 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11
3823, 14, 37syl2an 464 . . . . . . . . . 10
3936, 36, 38cnmptc 17647 . . . . . . . . 9 fld fld
4014adantl 453 . . . . . . . . . 10
4132expcn 18855 . . . . . . . . . 10 fld fld
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9 fld fld
4332mulcn 18850 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 fld fld fld
4536, 39, 42, 44cnmpt12f 17651 . . . . . . . 8 fld fld
4632, 34, 35, 45fsumcn 18853 . . . . . . 7 fld fld
4732cncfcn1 18893 . . . . . . 7 fld fld
4846, 47syl6eleqr 2495 . . . . . 6
4931, 48eqeltrrd 2479 . . . . 5
50 rescncf 18880 . . . . 5
5110, 49, 50sylc 58 . . . 4
5212, 51eqeltrrd 2479 . . 3
53 pserulm.h . . 3
5452, 53fmptd 5852 . 2
55 pserf.f . . 3
56 pserf.r . . 3
57 pserulm.m . . 3
58 pserulm.l . . 3
5916, 55, 22, 56, 53, 57, 58, 4pserulm 20291 . 2
601, 3, 54, 59ulmcn 20268 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  crab 2670   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226  ccnv 4836   cdm 4837   cres 4839  cima 4840  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  csup 7403  cc 8944  cr 8945  cc0 8946   caddc 8949   cmul 8951  cxr 9075   clt 9076  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  cicc 10875  cfz 10999   cseq 11278  cexp 11337  cabs 11994   cli 12233  csu 12434  ctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914   ccn 17242   ctx 17545  ccncf 18859 This theorem is referenced by:  psercn  20295 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ulm 20246
 Copyright terms: Public domain W3C validator