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Theorem psercn 22947
Description: An infinite series converges to a continuous function on the open disk of radius  R, where  R is the radius of convergence of the series. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
psercn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, a, n, r, x, y, A   
j, M, y    j, G, r, y    S, a, j, y    F, a    ph, a, j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    R( x, y, j, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem psercn
Dummy variables  k 
s  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumex 13522 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
21rgenw 2818 . . . . 5  |-  A. y  e.  S  sum_ j  e. 
NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
3 pserf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
43fnmpt 5713 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  S  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `
 j )  e. 
_V  ->  F  Fn  S
)
52, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
6 psercn.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
7 cnvimass 5367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
8 absf 13182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  abs : CC
--> RR
98fdmi 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  abs  =  CC
107, 9sseqtri 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
116, 10eqsstri 3529 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1312sselda 3499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  CC )
14 0cn 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1615cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
1714, 13, 16sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
18 abssub 13171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  a ) )  =  ( abs `  ( a  -  0 ) ) )
1914, 13, 18sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  (
a  -  0 ) ) )
2013subid1d 9939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  -  0 )  =  a )
2120fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( a  - 
0 ) )  =  ( abs `  a
) )
2217, 19, 213eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  a
) )
23 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
24 breq2 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  a
)  +  1 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
2625, 6syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( `' abs " (
0 [,) R ) ) )
27 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
28 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) ) )
298, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3026, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3130simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R
) )
32 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
33 iccssxr 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
34 pserf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
35 pserf.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
36 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
3734, 35, 36radcnvcl 22938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3933, 38sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
40 elico2 11613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  R  e.  RR* )  -> 
( ( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4132, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4231, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) )
4342simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4513abscld 13279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
46 avglt1 10797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  a
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4745, 46sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4844, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) )
4945ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  -.  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a
)  <  ( ( abs `  a )  +  1 ) )
5123, 24, 48, 50ifbothda 3979 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) ) )
52 psercn.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5351, 52syl6breqr 4496 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
M )
5422, 53eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  <  M )
55 cnxmet 21406 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  0  e.  CC )
5834, 3, 35, 36, 6, 52psercnlem1 22946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( M  e.  RR+  /\  ( abs `  a )  < 
M  /\  M  <  R ) )
5958simp1d 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR+ )
6059rpxrd 11282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
61 elbl 21017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6313, 54, 62mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
64 fvres 5886 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  ->  ( ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) `  a
)  =  ( F `
 a ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  =  ( F `  a ) )
663reseq1i 5279 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
6734, 3, 35, 36, 6, 58psercnlem2 22945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  /\  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  C_  S
) )
6867simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
6967simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  S )
7068, 69sstrd 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S
)
7170resmptd 5335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7266, 71syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
73 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )
7435adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
75 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( G `  k )  =  ( G `  y ) )
7675seqeq3d 12118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) )  =  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) )
7776fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )
7877cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) )  =  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  s ) )
79 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  i  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
8079mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  i  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8178, 80syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  i  ->  (
k  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8281cbvmptv 4548 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN0  |->  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
8359rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR )
8458simp3d 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  <  R )
8534, 73, 74, 36, 82, 83, 84, 68psercn2 22944 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC ) )
8672, 85eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC ) )
87 cncff 21523 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8988, 63ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  e.  CC )
9065, 89eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F `  a )  e.  CC )
9190ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC )
92 ffnfv 6058 . . . 4  |-  ( F : S --> CC  <->  ( F  Fn  S  /\  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC ) )
935, 91, 92sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
9470, 11syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  CC )
95 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
96 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
97 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
9896cnfldtop 21417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
9996cnfldtopon 21416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
10099toponunii 19560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
101100restid 14851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10298, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
103102eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
10496, 97, 103cncfcn 21539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
10594, 95, 104sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
10686, 105eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
107100restuni 19790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC )  -> 
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
10898, 94, 107sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
10963, 108eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
110 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
111110cncnpi 19906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )  ->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
112106, 109, 111syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  a
) )
11398a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  Top )
114 cnex 9590 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
115114, 11ssexi 4601 . . . . . . . . . 10  |-  S  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  _V )
117 restabs 19793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
118113, 70, 116, 117syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
119118oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) )
120119fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
121112, 120eleqtrrd 2548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
122 resttop 19788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
12398, 115, 122mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
124123a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
125 df-ss 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  <->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12670, 125sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12796cnfldtopn 21415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
128127blopn 21129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
12956, 57, 60, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
130 elrestr 14846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
131113, 116, 129, 130syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
132126, 131eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
133 isopn3i 19710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
134123, 132, 133sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
13563, 134eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
13693adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F : S --> CC )
137100restuni 19790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
13898, 11, 137mp2an 672 . . . . . . 7  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
139138, 100cnprest 19917 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S )  /\  ( a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  /\  F : S
--> CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
140124, 70, 135, 136, 139syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )
) )
141121, 140mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
142141ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
143 resttopon 19789 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
14499, 11, 143mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
145 cncnp 19908 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) ) )
146144, 99, 145mp2an 672 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
14793, 142, 146sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
148 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
14996, 148, 103cncfcn 21539 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
15011, 95, 149mp2an 672 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
151147, 150syl6eleqr 2556 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   [,)cico 11556   [,]cicc 11557    seqcseq 12110   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532  ℂfldccnfld 18547   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   intcnt 19645    Cn ccn 19852    CnP ccnp 19853   -cn->ccncf 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ulm 22898
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