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Theorem psercn 22548
Description: An infinite series converges to a continuous function on the open disk of radius  R, where  R is the radius of convergence of the series. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
psercn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, a, n, r, x, y, A   
j, M, y    j, G, r, y    S, a, j, y    F, a    ph, a, j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    R( x, y, j, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem psercn
Dummy variables  k 
s  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumex 13459 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
21rgenw 2818 . . . . 5  |-  A. y  e.  S  sum_ j  e. 
NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
3 pserf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
43fnmpt 5698 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  S  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `
 j )  e. 
_V  ->  F  Fn  S
)
52, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
6 psercn.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
7 cnvimass 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
8 absf 13119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  abs : CC
--> RR
98fdmi 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  abs  =  CC
107, 9sseqtri 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
116, 10eqsstri 3527 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1312sselda 3497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  CC )
14 0cn 9577 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
15 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1615cnmetdval 21006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
1714, 13, 16sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
18 abssub 13108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  a ) )  =  ( abs `  ( a  -  0 ) ) )
1914, 13, 18sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  (
a  -  0 ) ) )
2013subid1d 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  -  0 )  =  a )
2120fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( a  - 
0 ) )  =  ( abs `  a
) )
2217, 19, 213eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  a
) )
23 breq2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
24 breq2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  a
)  +  1 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
2625, 6syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( `' abs " (
0 [,) R ) ) )
27 ffn 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
28 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) ) )
298, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3026, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3130simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R
) )
32 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
33 iccssxr 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
34 pserf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
35 pserf.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
36 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
3734, 35, 36radcnvcl 22539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3933, 38sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
40 elico2 11577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  R  e.  RR* )  -> 
( ( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4132, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4231, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) )
4342simp3d 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4513abscld 13216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
46 avglt1 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  a
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4745, 46sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4844, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) )
4945ltp1d 10465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  -.  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a
)  <  ( ( abs `  a )  +  1 ) )
5123, 24, 48, 50ifbothda 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) ) )
52 psercn.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5351, 52syl6breqr 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
M )
5422, 53eqbrtrd 4460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  <  M )
55 cnxmet 21008 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  0  e.  CC )
5834, 3, 35, 36, 6, 52psercnlem1 22547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( M  e.  RR+  /\  ( abs `  a )  < 
M  /\  M  <  R ) )
5958simp1d 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR+ )
6059rpxrd 11246 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
61 elbl 20619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6313, 54, 62mpbir2and 915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
64 fvres 5871 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  ->  ( ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) `  a
)  =  ( F `
 a ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  =  ( F `  a ) )
663reseq1i 5260 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
6734, 3, 35, 36, 6, 58psercnlem2 22546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  /\  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  C_  S
) )
6867simp2d 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
6967simp3d 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  S )
7068, 69sstrd 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S
)
71 resmpt 5314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  ->  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7366, 72syl5eq 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
74 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )
7535adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
76 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( G `  k )  =  ( G `  y ) )
7776seqeq3d 12071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) )  =  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) )
7877fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )
7978cbvmptv 4531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) )  =  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  s ) )
80 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  i  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
8180mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  i  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8279, 81syl5eq 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  i  ->  (
k  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8382cbvmptv 4531 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN0  |->  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
8459rpred 11245 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR )
8558simp3d 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  <  R )
8634, 74, 75, 36, 83, 84, 85, 68psercn2 22545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC ) )
8773, 86eqeltrd 2548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC ) )
88 cncff 21125 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
9089, 63ffvelrnd 6013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  e.  CC )
9165, 90eqeltrrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F `  a )  e.  CC )
9291ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC )
93 ffnfv 6038 . . . 4  |-  ( F : S --> CC  <->  ( F  Fn  S  /\  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC ) )
945, 92, 93sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
9570, 11syl6ss 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  CC )
96 ssid 3516 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
97 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
98 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
9997cnfldtop 21019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
10097cnfldtopon 21018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
101100toponunii 19193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
102101restid 14678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10399, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
104103eqcomi 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
10597, 98, 104cncfcn 21141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
10695, 96, 105sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
10787, 106eleqtrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
108101restuni 19422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC )  -> 
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
10999, 95, 108sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
11063, 109eleqtrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
111 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
112111cncnpi 19538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )  ->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
113107, 110, 112syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  a
) )
11499a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  Top )
115 cnex 9562 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
116115, 11ssexi 4585 . . . . . . . . . 10  |-  S  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  _V )
118 restabs 19425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
119114, 70, 117, 118syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
120119oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) )
121120fveq1d 5859 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
122113, 121eleqtrrd 2551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
123 resttop 19420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
12499, 116, 123mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
125124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
126 df-ss 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  <->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12770, 126sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12897cnfldtopn 21017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
129128blopn 20731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
13056, 57, 60, 129syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
131 elrestr 14673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
132114, 117, 130, 131syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
133127, 132eqeltrrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
134 isopn3i 19342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
135124, 133, 134sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
13663, 135eleqtrrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
13794adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F : S --> CC )
138101restuni 19422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
13999, 11, 138mp2an 672 . . . . . . 7  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
140139, 101cnprest 19549 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S )  /\  ( a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  /\  F : S
--> CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
141125, 70, 136, 137, 140syl22anc 1224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )
) )
142122, 141mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
143142ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
144 resttopon 19421 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
145100, 11, 144mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
146 cncnp 19540 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) ) )
147145, 100, 146mp2an 672 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
14894, 143, 147sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
149 eqid 2460 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
15097, 149, 104cncfcn 21141 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
15111, 96, 150mp2an 672 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
152148, 151syl6eleqr 2559 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ifcif 3932   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   dom cdm 4992    |` cres 4994   "cima 4995    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   supcsup 7889   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   2c2 10574   NN0cn0 10784   RR+crp 11209   [,)cico 11520   [,]cicc 11521    seqcseq 12063   ^cexp 12122   abscabs 13017    ~~> cli 13256   sum_csu 13457   ↾t crest 14665   TopOpenctopn 14666   *Metcxmt 18167   ballcbl 18169  ℂfldccnfld 18184   Topctop 19154  TopOnctopon 19155   intcnt 19277    Cn ccn 19484    CnP ccnp 19485   -cn->ccncf 21108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-ntr 19280  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-ulm 22499
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