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Theorem psercn 22686
Description: An infinite series converges to a continuous function on the open disk of radius  R, where  R is the radius of convergence of the series. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
psercn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    j, a, n, r, x, y, A   
j, M, y    j, G, r, y    S, a, j, y    F, a    ph, a, j, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    R( x, y, j, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem psercn
Dummy variables  k 
s  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumex 13484 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
21rgenw 2802 . . . . 5  |-  A. y  e.  S  sum_ j  e. 
NN0  ( ( G `
 y ) `  j )  e.  _V
3 pserf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
43fnmpt 5693 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  S  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `
 j )  e. 
_V  ->  F  Fn  S
)
52, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
6 psercn.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
7 cnvimass 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
8 absf 13144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  abs : CC
--> RR
98fdmi 5722 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  abs  =  CC
107, 9sseqtri 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
116, 10eqsstri 3516 . . . . . . . . . 10  |-  S  C_  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1312sselda 3486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  CC )
14 0cn 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
15 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1615cnmetdval 21144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
1714, 13, 16sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
18 abssub 13133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  a ) )  =  ( abs `  ( a  -  0 ) ) )
1914, 13, 18sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  (
a  -  0 ) ) )
2013subid1d 9920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  -  0 )  =  a )
2120fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  ( a  - 
0 ) )  =  ( abs `  a
) )
2217, 19, 213eqtrd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  a
) )
23 breq2 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
24 breq2 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  a
)  +  1 )  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 )  <-> 
( abs `  a
)  <  if ( R  e.  RR , 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) ,  ( ( abs `  a )  +  1 ) ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
2625, 6syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( `' abs " (
0 [,) R ) ) )
27 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
28 elpreima 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) ) )
298, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( `' abs " ( 0 [,) R
) )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3026, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  CC  /\  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R ) ) )
3130simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  ( 0 [,) R
) )
32 0re 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
33 iccssxr 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
34 pserf.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
35 pserf.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
36 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
3734, 35, 36radcnvcl 22677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3933, 38sseldi 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  R  e.  RR* )
40 elico2 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  R  e.  RR* )  -> 
( ( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4132, 39, 40sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  ( 0 [,) R )  <->  ( ( abs `  a )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) ) )
4231, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( abs `  a
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  a
)  /\  ( abs `  a )  <  R
) )
4342simp3d 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
R )
4513abscld 13241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  e.  RR )
46 avglt1 10777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  a
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4745, 46sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  a
)  <  R  <->  ( abs `  a )  <  (
( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ) )
4844, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( ( abs `  a )  +  R
)  /  2 ) )
4945ltp1d 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  -.  R  e.  RR )  ->  ( abs `  a
)  <  ( ( abs `  a )  +  1 ) )
5123, 24, 48, 50ifbothda 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) ) )
52 psercn.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
5351, 52syl6breqr 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs `  a )  < 
M )
5422, 53eqbrtrd 4453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  <  M )
55 cnxmet 21146 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
5714a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  0  e.  CC )
5834, 3, 35, 36, 6, 52psercnlem1 22685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( M  e.  RR+  /\  ( abs `  a )  < 
M  /\  M  <  R ) )
5958simp1d 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR+ )
6059rpxrd 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR* )
61 elbl 20757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6256, 57, 60, 61syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  <->  ( a  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) a )  < 
M ) ) )
6313, 54, 62mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
64 fvres 5866 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  ->  ( ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) `  a
)  =  ( F `
 a ) )
6563, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  =  ( F `  a ) )
663reseq1i 5255 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( ( y  e.  S  |->  sum_ j  e.  NN0  (
( G `  y
) `  j )
)  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
6734, 3, 35, 36, 6, 58psercnlem2 22684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) )  /\  ( `' abs " ( 0 [,] M
) )  C_  S
) )
6867simp2d 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
6967simp3d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) 
C_  S )
7068, 69sstrd 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S
)
7170resmptd 5311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
7266, 71syl5eq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) ) )
73 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )
7435adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
75 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( G `  k )  =  ( G `  y ) )
7675seqeq3d 12089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  y  ->  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) )  =  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) )
7776fveq1d 5854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  y  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )
7877cbvmptv 4524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) )  =  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  s ) )
79 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  i  ->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
)  =  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) )
8079mpteq2dv 4520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  i  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8178, 80syl5eq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  i  ->  (
k  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  k
) ) `  s
) )  =  ( y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  (  seq 0 (  +  , 
( G `  y
) ) `  i
) ) )
8281cbvmptv 4524 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  NN0  |->  ( k  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  k ) ) `  s ) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( y  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M )  |->  (  seq 0
(  +  ,  ( G `  y ) ) `  i ) ) )
8359rpred 11260 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  e.  RR )
8458simp3d 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  M  <  R )
8534, 73, 74, 36, 82, 83, 84, 68psercn2 22683 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
y  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( G `
 y ) `  j ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC ) )
8672, 85eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC ) )
87 cncff 21263 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) : ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) --> CC )
8988, 63ffvelrnd 6013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) `  a )  e.  CC )
9065, 89eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F `  a )  e.  CC )
9190ralrimiva 2855 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC )
92 ffnfv 6038 . . . 4  |-  ( F : S --> CC  <->  ( F  Fn  S  /\  A. a  e.  S  ( F `  a )  e.  CC ) )
935, 91, 92sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
9470, 11syl6ss 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  CC )
95 ssid 3505 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
96 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
97 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
9896cnfldtop 21157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
9996cnfldtopon 21156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
10099toponunii 19300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
101100restid 14703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10298, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
103102eqcomi 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
10496, 97, 103cncfcn 21279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
10594, 95, 104sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
10686, 105eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
107100restuni 19529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  CC )  -> 
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
10898, 94, 107sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
10963, 108eleqtrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
110 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )
111110cncnpi 19645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  a  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )  ->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
112106, 109, 111syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  a
) )
11398a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( TopOpen
` fld
)  e.  Top )
114 cnex 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
115114, 11ssexi 4578 . . . . . . . . . 10  |-  S  e. 
_V
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  _V )
117 restabs 19532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
118113, 70, 116, 117syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) ) )
119118oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) )
120119fveq1d 5854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
121112, 120eleqtrrd 2532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  |`  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
122 resttop 19527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
12398, 115, 122mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
124123a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
125 df-ss 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  C_  S  <->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12670, 125sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
12796cnfldtopn 21155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
128127blopn 20869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
12956, 57, 60, 128syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  (
TopOpen ` fld ) )
130 elrestr 14698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
131113, 116, 129, 130syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  i^i  S )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
132126, 131eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
133 isopn3i 19449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
134123, 132, 133sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )
13563, 134eleqtrrd 2532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) ) )
13693adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F : S --> CC )
137100restuni 19529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
13898, 11, 137mp2an 672 . . . . . . 7  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
139138, 100cnprest 19656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) 
C_  S )  /\  ( a  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  /\  F : S
--> CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
140124, 70, 135, 136, 139syl22anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
)  <->  ( F  |`  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) M ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  a )
) )
141121, 140mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
142141ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) )
143 resttopon 19528 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
14499, 11, 143mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
145 cncnp 19647 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) ) )
146144, 99, 145mp2an 672 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. a  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  a
) ) )
14793, 142, 146sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
148 eqid 2441 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
14996, 148, 103cncfcn 21279 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
15011, 95, 149mp2an 672 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
151147, 150syl6eleqr 2540 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   {crab 2795   _Vcvv 3093    i^i cin 3457    C_ wss 3458   ifcif 3922   U.cuni 4230   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   `'ccnv 4984   dom cdm 4985    |` cres 4987   "cima 4988    o. ccom 4989    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   RR+crp 11224   [,)cico 11535   [,]cicc 11536    seqcseq 12081   ^cexp 12140   abscabs 13041    ~~> cli 13281   sum_csu 13482   ↾t crest 14690   TopOpenctopn 14691   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273  ℂfldccnfld 18288   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   intcnt 19384    Cn ccn 19591    CnP ccnp 19592   -cn->ccncf 21246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-ntr 19387  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-ulm 22637
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