Theorem psdmrn 9991

Description: The domain and range of a poset equal its field.

Assertion

Ref	Expression
psdmrn	|- (R e. Poset -> (dom R = U.U.R /\ ran R = U.U.R))

Proof of Theorem psdmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 2767	. . . . 5 |- dom R C_ (dom R u. ran R)
2		dmrnssfld 4205	. . . . 5 |- (dom R u. ran R) C_ U.U.R
3	1, 2	sstri 2626	. . . 4 |- dom R C_ U.U.R
4	3	a1i 8	. . 3 |- (R e. Poset -> dom R C_ U.U.R)
5		pslem 9990	. . . . . . . . . 10 |- (R e. Poset -> ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.R /\ x e. U.U.R) -> (((xRx /\ xRx) -> xRx) /\ ((x e. U.U.R -> xRx) /\ ((xRx /\ xRx) -> x = x)))))
6		simprl 450	. . . . . . . . . 10 |- ((((xRx /\ xRx) -> xRx) /\ ((x e. U.U.R -> xRx) /\ ((xRx /\ xRx) -> x = x))) -> (x e. U.U.R -> xRx))
7	5, 6	syl6 25	. . . . . . . . 9 |- (R e. Poset -> ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.R /\ x e. U.U.R) -> (x e. U.U.R -> xRx)))
8	7	3expd 1085	. . . . . . . 8 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx)))))
9	8	pm2.43d 79	. . . . . . 7 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx))))
10	9	pm2.43d 79	. . . . . 6 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> (x e. U.U.R -> xRx)))
11	10	pm2.43d 79	. . . . 5 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> xRx))
12		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
13	12	breldm 4161	. . . . 5 |- (xRx -> x e. dom R)
14	11, 13	syl6 25	. . . 4 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> x e. dom R))
15	14	ssrdv 2622	. . 3 |- (R e. Poset -> U.U.R C_ dom R)
16	4, 15	eqssd 2633	. 2 |- (R e. Poset -> dom R = U.U.R)
17		ssun2 2768	. . . . 5 |- ran R C_ (dom R u. ran R)
18	17, 2	sstri 2626	. . . 4 |- ran R C_ U.U.R
19	18	a1i 8	. . 3 |- (R e. Poset -> ran R C_ U.U.R)
20	12, 12	brelrn 4191	. . . . 5 |- (xRx -> x e. ran R)
21	11, 20	syl6 25	. . . 4 |- (R e. Poset -> (x e. U.U.R -> x e. ran R))
22	21	ssrdv 2622	. . 3 |- (R e. Poset -> U.U.R C_ ran R)
23	19, 22	eqssd 2633	. 2 |- (R e. Poset -> ran R = U.U.R)
24	16, 23	jca 310	1 |- (R e. Poset -> (dom R = U.U.R /\ ran R = U.U.R))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987  Posetcps 9980

This theorem is referenced by:  psref 9992  psrn 9993  spwval 10002  spwnex 10004  tosdir 10358  supdef 14604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ps 9984

Copyright terms: Public domain