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Theorem ps-2 32956
Description: Lattice analog for the projective geometry axiom, "if a line intersects two sides of a triangle at different points then it also intersects the third side." Projective space condition PS2 in [MaedaMaeda] p. 68 and part of Theorem 16.4 in [MaedaMaeda] p. 69. (Contributed by NM, 1-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ps1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ps1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
ps1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
ps-2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  S  =/=  T )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
Distinct variable groups:    u, A    u, 
.\/    u, K    u,  .<_    u, P    u, Q    u, R    u, S    u, T

Proof of Theorem ps-2
StepHypRef Expression
1 simpl21 1083 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  e.  A )
2 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  HL )
3 simp21 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  e.  A )
4 simp23 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  R  e.  A )
5 ps1.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 ps1.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 ps1.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
85, 6, 7hlatlej1 32853 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
92, 3, 4, 8syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
109adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  .<_  ( P  .\/  R ) )
11 simp3r 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  T  e.  A )
125, 6, 7hlatlej1 32853 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  T ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  T ) )
14 oveq1 6304 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  P  ->  ( S  .\/  T )  =  ( P  .\/  T
) )
1514breq2d 4429 . . . . . . 7  |-  ( S  =  P  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  T )  <->  P  .<_  ( P 
.\/  T ) ) )
1613, 15syl5ibrcom 225 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( S  =  P  ->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
1716imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  P  .<_  ( S  .\/  T ) )
18 breq1 4420 . . . . . . 7  |-  ( u  =  P  ->  (
u  .<_  ( P  .\/  R )  <->  P  .<_  ( P 
.\/  R ) ) )
19 breq1 4420 . . . . . . 7  |-  ( u  =  P  ->  (
u  .<_  ( S  .\/  T )  <->  P  .<_  ( S 
.\/  T ) ) )
2018, 19anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( u  =  P  ->  (
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) )  <->  ( P  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
2120rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  A  /\  ( P  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  P  .<_  ( S  .\/  T ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
221, 10, 17, 21syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
2322a1d 26 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =  P )  ->  ( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
24 hlop 32841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
25243ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  OP )
26 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
27 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
2826, 27op0cl 32663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 0. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
2925, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
3026, 7atbase 32768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
313, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
32 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3327, 32, 7atcvr0 32767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P )
342, 3, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P )
35 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3626, 35, 32cvrlt 32749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) P )
372, 29, 31, 34, 36syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) ( lt `  K ) P )
38 hlpos 32844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
39383ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  Poset )
40 hllat 32842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
41403ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  Lat )
4226, 7atbase 32768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
4426, 6latjcl 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
4541, 31, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
4626, 5, 35pltletr 16195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( 0. `  K
)  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) P  /\  P  .<_  ( P 
.\/  R ) )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R ) ) )
4739, 29, 31, 45, 46syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( 0.
`  K ) ( lt `  K ) P  /\  P  .<_  ( P  .\/  R ) )  ->  ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R ) ) )
4837, 9, 47mp2and 683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
) ( lt `  K ) ( P 
.\/  R ) )
4935pltne 16186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( 0. `  K )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( lt `  K ) ( P  .\/  R
)  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( P  .\/  R ) ) )
502, 29, 45, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( 0. `  K ) ( lt
`  K ) ( P  .\/  R )  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( P  .\/  R ) ) )
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( 0. `  K
)  =/=  ( P 
.\/  R ) )
5251necomd 2693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  R
)  =/=  ( 0.
`  K ) )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K ) )
54 hlatl 32839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
55543ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  K  e.  AtLat )
56 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  S  e.  A )
575, 7atncmp 32791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  ( -.  S  .<_  P  <->  S  =/=  P ) )
5855, 56, 3, 57syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  S  .<_  P  <-> 
S  =/=  P ) )
59 simp22 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Q  e.  A )
6026, 5, 6, 7hlexch1 32860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  S  .<_  P )  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
61603expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  P  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
622, 56, 59, 31, 61syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  S  .<_  P  ->  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )
6358, 62sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( S  =/=  P  ->  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
6463imp32 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  S ) )
6526, 7atbase 32768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
6726, 7atbase 32768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
6856, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
6926, 6latjcl 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
7041, 31, 68, 69syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
7126, 5, 6latjlej1 16289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
7241, 66, 70, 43, 71syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( Q  .<_  ( P 
.\/  S )  -> 
( Q  .\/  R
)  .<_  ( ( P 
.\/  S )  .\/  R ) ) )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  S
)  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
7464, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )
7574adantrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) )
7626, 7atbase 32768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T  e.  A  ->  T  e.  ( Base `  K
) )
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  ->  T  e.  ( Base `  K ) )
7826, 6latjcl 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
7941, 66, 43, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
8026, 6latjcl 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
8141, 70, 43, 80syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
8226, 5lattr 16280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( T 
.<_  ( Q  .\/  R
)  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
8341, 77, 79, 81, 82syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( T  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R ) ) )
8483expdimp 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .<_  ( ( P 
.\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )
) )
8584adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )
) )
8685adantrl 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  R )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) ) )
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R ) )
886, 7hlatj32 32850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) )
892, 3, 56, 4, 88syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  S )  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) )
9089breq2d 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( T  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  R )  <->  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
) )
9190adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( T  .<_  ( ( P  .\/  S
)  .\/  R )  <->  T 
.<_  ( ( P  .\/  R )  .\/  S ) ) )
9287, 91mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  T  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  S ) )
9353, 92jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
) )
9493adantrrl 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( S  =/=  P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K )  /\  T  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) ) )
9594ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( S  =/= 
P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  R )  =/=  ( 0.
`  K )  /\  T  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  S ) ) ) )
9626, 5, 6, 27, 7cvrat4 32921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K )  /\  T  e.  A  /\  S  e.  A ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
)  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
972, 45, 11, 56, 96syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  R )  =/=  ( 0. `  K
)  /\  T  .<_  ( ( P  .\/  R
)  .\/  S )
)  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
9895, 97syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( S  =/= 
P  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) ) )
9998impl 624 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) )
10099adantrlr 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) ) )
1015, 7atncmp 32791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  T  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  <->  T  =/=  S ) )
10255, 11, 56, 101syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  T  .<_  S  <-> 
T  =/=  S ) )
103 necom 2691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  =/=  S  <->  S  =/=  T )
104102, 103syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( -.  T  .<_  S  <-> 
S  =/=  T ) )
105104adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  <-> 
S  =/=  T ) )
106 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  K  e.  HL )
107 simpl3r 1061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  T  e.  A )
108 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
10968adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
11026, 5, 6, 7hlexch1 32860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  u  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  T  .<_  S )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u
)  ->  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
1111103expia 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  u  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( -.  T  .<_  S  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) ) )
112106, 107, 108, 109, 111syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( -.  T  .<_  S  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S 
.\/  T ) ) ) )
113105, 112sylbird 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  u  e.  A )  ->  ( S  =/=  T  ->  ( T  .<_  ( S 
.\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
114113imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  u  e.  A )  /\  S  =/=  T )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) )
115114an32s 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  T )  /\  u  e.  A )  ->  ( T  .<_  ( S  .\/  u )  ->  u  .<_  ( S  .\/  T
) ) )
116115anim2d 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  T )  /\  u  e.  A )  ->  (
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) )  -> 
( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
117116reximdva 2898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =/=  T )  -> 
( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R )  /\  T  .<_  ( S 
.\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
118117ad2ant2rl 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T ) )  -> 
( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R )  /\  T  .<_  ( S 
.\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
119118adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  ( E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  T  .<_  ( S  .\/  u ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
120100, 119mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)  /\  S  =/=  P )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
121120ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  S  =/=  P )  -> 
( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
12223, 121pm2.61dane 2740 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  -> 
( ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  S  =/=  T )  /\  ( S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P  .\/  R
)  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) ) )
123122imp 430 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( ( -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  S  =/=  T )  /\  ( S 
.<_  ( P  .\/  Q
)  /\  T  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )  ->  E. u  e.  A  ( u  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  u  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Basecbs 15099   lecple 15175   Posetcpo 16163   ltcplt 16164   joincjn 16167   0.cp0 16261   Latclat 16269   OPcops 32651    <o ccvr 32741   Atomscatm 32742   AtLatcal 32743   HLchlt 32829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-preset 16151  df-poset 16169  df-plt 16182  df-lub 16198  df-glb 16199  df-join 16200  df-meet 16201  df-p0 16263  df-lat 16270  df-clat 16332  df-oposet 32655  df-ol 32657  df-oml 32658  df-covers 32745  df-ats 32746  df-atl 32777  df-cvlat 32801  df-hlat 32830
This theorem is referenced by:  ps-2b  32960  paddasslem3  33300
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