Theorem ps-1 17078

Description: The join of two atoms RJS (specifying a projective geometry line) is determined uniquely by any two atoms (specifying two points) less than or equal to that join. Part of Lemma 16.4 of [MaedaMaeda] p. 69, showing projective space condition PS1 in [MaedaMaeda] p. 67.

Hypotheses

Ref	Expression
ps1.l	|- L = (le` K)
ps1.j	|- J = (join` K)
ps1.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
ps-1	|- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ)L(RJS) <-> (PJQ) = (RJS)))

Proof of Theorem ps-1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (R = P -> (RJS) = (PJS))
2	1	breq2d 3350	. . . . 5 |- (R = P -> ((PJQ)L(RJS) <-> (PJQ)L(PJS)))
3	1	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (R = P -> ((PJQ) = (RJS) <-> (PJQ) = (PJS)))
4	2, 3	imbi12d 688	. . . 4 |- (R = P -> (((PJQ)L(RJS) -> (PJQ) = (RJS)) <-> ((PJQ)L(PJS) -> (PJQ) = (PJS))))
5	4	eqcoms 1887	. . 3 |- (P = R -> (((PJQ)L(RJS) -> (PJQ) = (RJS)) <-> ((PJQ)L(PJS) -> (PJQ) = (PJS))))
6		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- (((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJQ)L(RJS))
7		hllat 17026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
8	7	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> K e. LatNEW)
9		simp2l 902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> P e. A)
10		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (base` K) = (base` K)
11		ps1.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = (AtomsNEW` K)
12	10, 11	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (P e. A -> P e. (base` K))
13	9, 12	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> P e. (base` K))
14		simp3l 904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> R e. A)
15	10, 11	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (R e. A -> R e. (base` K))
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> R e. (base` K))
17		ps1.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = (join` K)
18	10, 17	latjcom 16860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K) /\ R e. (base` K)) -> (PJR) = (RJP))
19	8, 13, 16, 18	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (PJR) = (RJP))
20	19	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJR) = (RJP))
21		simp2r 903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> Q e. A)
22	10, 11	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Q e. A -> Q e. (base` K))
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> Q e. (base` K))
24		simp3r 905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> S e. A)
25	10, 11	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S e. A -> S e. (base` K))
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> S e. (base` K))
27	10, 17	latjcl 16852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((K e. LatNEW /\ R e. (base` K) /\ S e. (base` K)) -> (RJS) e. (base` K))
28	8, 16, 26, 27	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (RJS) e. (base` K))
29		ps1.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- L = (le` K)
30	10, 29, 17	latjle12 16863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((K e. LatNEW /\ (P e. (base` K) /\ Q e. (base` K) /\ (RJS) e. (base` K))) -> ((PL(RJS) /\ QL(RJS)) <-> (PJQ)L(RJS)))
31	8, 13, 23, 28, 30	syl13anc 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> ((PL(RJS) /\ QL(RJS)) <-> (PJQ)L(RJS)))
32	31	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) -> ((PL(RJS) /\ QL(RJS)) <-> (PJQ)L(RJS)))
33		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((PL(RJS) /\ QL(RJS)) -> PL(RJS))
34	32, 33	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(RJS) -> PL(RJS)))
35	29, 17, 11	hlatexchb1 17043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ S e. A /\ R e. A) /\ P =/= R) -> (PL(RJS) <-> (RJP) = (RJS)))
36	35	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ S e. A /\ R e. A)) /\ P =/= R) -> (PL(RJS) <-> (RJP) = (RJS)))
37		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> K e. HL)
38	9, 24, 14	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (P e. A /\ S e. A /\ R e. A))
39	37, 38	jca 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (K e. HL /\ (P e. A /\ S e. A /\ R e. A)))
40	36, 39	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) -> (PL(RJS) <-> (RJP) = (RJS)))
41	34, 40	sylibd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(RJS) -> (RJP) = (RJS)))
42	41	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (RJP) = (RJS))
43	20, 42	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJR) = (RJS))
44	43	adantllr 433	. . . . . . . . 9 |- (((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJR) = (RJS))
45	6, 44	breqtrrd 3363	. . . . . . . 8 |- (((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJQ)L(PJR))
46	45	ex 402	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(RJS) -> (PJQ)L(PJR)))
47	10, 17	latjcl 16852	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K) /\ R e. (base` K)) -> (PJR) e. (base` K))
48	8, 13, 16, 47	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (PJR) e. (base` K))
49	10, 29, 17	latjle12 16863	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ (P e. (base` K) /\ Q e. (base` K) /\ (PJR) e. (base` K))) -> ((PL(PJR) /\ QL(PJR)) <-> (PJQ)L(PJR)))
50	8, 13, 23, 48, 49	syl13anc 1102	. . . . . . . . 9 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> ((PL(PJR) /\ QL(PJR)) <-> (PJQ)L(PJR)))
51	50	ad2antrr 440	. . . . . . . 8 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PL(PJR) /\ QL(PJR)) <-> (PJQ)L(PJR)))
52	29, 17, 11	hlatexchb1 17043	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ (Q e. A /\ R e. A /\ P e. A) /\ Q =/= P) -> (QL(PJR) <-> (PJQ) = (PJR)))
53	52	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((K e. HL /\ (Q e. A /\ R e. A /\ P e. A)) /\ Q =/= P) -> (QL(PJR) <-> (PJQ) = (PJR)))
54	21, 14, 9	3jca 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (Q e. A /\ R e. A /\ P e. A))
55	37, 54	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (K e. HL /\ (Q e. A /\ R e. A /\ P e. A)))
56		necom 2094	. . . . . . . . . . . 12 |- (P =/= Q <-> Q =/= P)
57	56	biimpi 168	. . . . . . . . . . 11 |- (P =/= Q -> Q =/= P)
58	53, 55, 57	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> (QL(PJR) <-> (PJQ) = (PJR)))
59	58	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> (QL(PJR) <-> (PJQ) = (PJR)))
60		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((PL(PJR) /\ QL(PJR)) -> QL(PJR))
61	59, 60	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PL(PJR) /\ QL(PJR)) -> (PJQ) = (PJR)))
62	51, 61	sylbird 222	. . . . . . 7 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(PJR) -> (PJQ) = (PJR)))
63	46, 62	syld 30	. . . . . 6 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(RJS) -> (PJQ) = (PJR)))
64	63	imp 377	. . . . 5 |- (((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJQ) = (PJR))
65	64, 44	eqtrd 1925	. . . 4 |- (((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) /\ (PJQ)L(RJS)) -> (PJQ) = (RJS))
66	65	ex 402	. . 3 |- ((((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) /\ P =/= R) -> ((PJQ)L(RJS) -> (PJQ) = (RJS)))
67	10, 17	latjcl 16852	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K) /\ S e. (base` K)) -> (PJS) e. (base` K))
68	8, 13, 26, 67	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (PJS) e. (base` K))
69	10, 29, 17	latjle12 16863	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ (P e. (base` K) /\ Q e. (base` K) /\ (PJS) e. (base` K))) -> ((PL(PJS) /\ QL(PJS)) <-> (PJQ)L(PJS)))
70	8, 13, 23, 68, 69	syl13anc 1102	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> ((PL(PJS) /\ QL(PJS)) <-> (PJQ)L(PJS)))
71		simpr 350	. . . . . 6 |- ((PL(PJS) /\ QL(PJS)) -> QL(PJS))
72	70, 71	syl6bir 232	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> ((PJQ)L(PJS) -> QL(PJS)))
73	72	adantr 425	. . . 4 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ)L(PJS) -> QL(PJS)))
74	29, 17, 11	hlatexchb1 17043	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ (Q e. A /\ S e. A /\ P e. A) /\ Q =/= P) -> (QL(PJS) <-> (PJQ) = (PJS)))
75	74	3expa 1067	. . . . 5 |- (((K e. HL /\ (Q e. A /\ S e. A /\ P e. A)) /\ Q =/= P) -> (QL(PJS) <-> (PJQ) = (PJS)))
76	21, 24, 9	3jca 1050	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (Q e. A /\ S e. A /\ P e. A))
77	37, 76	jca 310	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (K e. HL /\ (Q e. A /\ S e. A /\ P e. A)))
78	75, 77, 57	syl2an 503	. . . 4 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> (QL(PJS) <-> (PJQ) = (PJS)))
79	73, 78	sylibd 219	. . 3 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ)L(PJS) -> (PJQ) = (PJS)))
80	5, 66, 79	pm2.61ne 2087	. 2 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ)L(RJS) -> (PJQ) = (RJS)))
81		breq2 3342	. . 3 |- ((PJQ) = (RJS) -> ((PJQ)L(PJQ) <-> (PJQ)L(RJS)))
82	10, 17	latjcl 16852	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K) /\ Q e. (base` K)) -> (PJQ) e. (base` K))
83	8, 13, 23, 82	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (PJQ) e. (base` K))
84	10, 29	latref 16855	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ (PJQ) e. (base` K)) -> (PJQ)L(PJQ))
85	8, 83, 84	syl11anc 524	. . . 4 |- ((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) -> (PJQ)L(PJQ))
86	85	adantr 425	. . 3 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> (PJQ)L(PJQ))
87	81, 86	syl5cbi 226	. 2 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ) = (RJS) -> (PJQ)L(RJS)))
88	80, 87	impbid 574	1 |- (((K e. HL /\ (P e. A /\ Q e. A) /\ (R e. A /\ S e. A)) /\ P =/= Q) -> ((PJQ)L(RJS) <-> (PJQ) = (RJS)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  LatNEWclat 16834  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-lub 16799  df-join 16801  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain