MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prunioo Structured version   Unicode version

Theorem prunioo 11406
Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
prunioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem prunioo
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
2 xrleloe 11113 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
323adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
4 df-pr 3875 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54uneq2i 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
6 unass 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
75, 6eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )
8 uncom 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
9 snunioo 11403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
108, 9syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
1110uneq1d 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
127, 11syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
13123expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
14133adantl3 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
15 snunico 11404 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1714, 16eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
1817ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
19 iccid 11337 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
20193ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
2120eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  { A }  =  ( A [,] A ) )
22 uncom 3495 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  ( { A }  u.  (/) )
23 un0 3657 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
2422, 23eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
25 iooid 11320 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) A )  =  (/)
26 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) A )  =  ( A (,) B
) )
2725, 26syl5eqr 2484 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  ( A (,) B ) )
28 dfsn2 3885 . . . . . . . . 9  |-  { A }  =  { A ,  A }
29 preq2 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
3028, 29syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
3127, 30uneq12d 3506 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( (/) 
u.  { A }
)  =  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
3224, 31syl5eqr 2484 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )
33 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A [,] A )  =  ( A [,] B
) )
3432, 33eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { A }  =  ( A [,] A )  <-> 
( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) ) )
3521, 34syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
3618, 35jaod 380 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) ) )
373, 36sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3321   (/)c0 3632   {csn 3872   {cpr 3874   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   [,]cicc 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299
This theorem is referenced by:  iccntr  20373  ovolioo  21024  uniiccdif  21033  itgioo  21268  rollelem  21436  dvivthlem1  21455  reasinsin  22266  scvxcvx  22354  eliccioo  26057
  Copyright terms: Public domain W3C validator