MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prunioo Structured version   Unicode version

Theorem prunioo 11532
Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
prunioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem prunioo
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
2 xrleloe 11233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
323adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
4 df-pr 3989 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54uneq2i 3616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
6 unass 3622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
75, 6eqtr4i 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )
8 uncom 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
9 snunioo 11529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
108, 9syl5eq 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
1110uneq1d 3618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
127, 11syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
13123expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
14133adantl3 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
15 snunico 11530 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1714, 16eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
1817ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
19 iccid 11457 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
20193ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
2120eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  { A }  =  ( A [,] A ) )
22 uncom 3609 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  ( { A }  u.  (/) )
23 un0 3771 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
2422, 23eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
25 iooid 11440 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) A )  =  (/)
26 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) A )  =  ( A (,) B
) )
2725, 26syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  ( A (,) B ) )
28 dfsn2 3999 . . . . . . . . 9  |-  { A }  =  { A ,  A }
29 preq2 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
3028, 29syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
3127, 30uneq12d 3620 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( (/) 
u.  { A }
)  =  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
3224, 31syl5eqr 2509 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )
33 oveq2 6209 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A [,] A )  =  ( A [,] B
) )
3432, 33eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { A }  =  ( A [,] A )  <-> 
( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) ) )
3521, 34syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
3618, 35jaod 380 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) ) )
373, 36sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3435   (/)c0 3746   {csn 3986   {cpr 3988   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531   (,)cioo 11412   [,)cico 11414   [,]cicc 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419
This theorem is referenced by:  iccntr  20531  ovolioo  21183  uniiccdif  21192  itgioo  21427  rollelem  21595  dvivthlem1  21614  reasinsin  22425  scvxcvx  22513  eliccioo  26252
  Copyright terms: Public domain W3C validator