MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prunioo Structured version   Unicode version

Theorem prunioo 11401
Description: The closure of an open real interval. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
prunioo  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem prunioo
StepHypRef Expression
1 simp3 983 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
2 xrleloe 11109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
323adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
4 df-pr 3868 . . . . . . . . . . 11  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54uneq2i 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
6 unass 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A (,) B
)  u.  ( { A }  u.  { B } ) )
75, 6eqtr4i 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } )  =  ( ( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )
8 uncom 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
9 snunioo 11398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
108, 9syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
1110uneq1d 3497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( ( A (,) B )  u.  { A } )  u.  { B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
127, 11syl5eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
13123expa 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( ( A [,) B
)  u.  { B } ) )
14133adantl3 1139 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( ( A [,) B )  u.  { B } ) )
15 snunico 11399 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1615adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A [,) B
)  u.  { B } )  =  ( A [,] B ) )
1714, 16eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  /\  A  <  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
1817ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
19 iccid 11333 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
20193ad2ant1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] A )  =  { A } )
2120eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  { A }  =  ( A [,] A ) )
22 uncom 3488 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  ( { A }  u.  (/) )
23 un0 3650 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
2422, 23eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
25 iooid 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) A )  =  (/)
26 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) A )  =  ( A (,) B
) )
2725, 26syl5eqr 2479 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (/)  =  ( A (,) B ) )
28 dfsn2 3878 . . . . . . . . 9  |-  { A }  =  { A ,  A }
29 preq2 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
3028, 29syl5eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
3127, 30uneq12d 3499 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( (/) 
u.  { A }
)  =  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
3224, 31syl5eqr 2479 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } ) )
33 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A [,] A )  =  ( A [,] B
) )
3432, 33eqeq12d 2447 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { A }  =  ( A [,] A )  <-> 
( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) ) )
3521, 34syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
3618, 35jaod 380 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) ) )
373, 36sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <_  B  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) ) )
381, 37mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    u. cun 3314   (/)c0 3625   {csn 3865   {cpr 3867   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407   (,)cioo 11288   [,)cico 11290   [,]cicc 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295
This theorem is referenced by:  iccntr  20240  ovolioo  20891  uniiccdif  20900  itgioo  21135  rollelem  21303  dvivthlem1  21322  reasinsin  22176  scvxcvx  22264  eliccioo  25929
  Copyright terms: Public domain W3C validator