MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Structured version   Unicode version

Theorem prub 9404
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2476 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( B  e.  A  <->  C  e.  A ) )
21biimpcd 226 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A ) )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( B  =  C  ->  C  e.  A
) )
4 prcdnq 9403 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( C  <Q  B  ->  C  e.  A )
)
53, 4jaod 380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( ( B  =  C  \/  C  <Q  B )  ->  C  e.  A ) )
65con3d 135 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
8 elprnq 9401 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  Q. )
9 ltsonq 9379 . . . 4  |-  <Q  Or  Q.
10 sotric 4772 . . . 4  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. ) )  -> 
( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
119, 10mpan 670 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
128, 11sylan 471 . 2  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( B  <Q  C  <->  -.  ( B  =  C  \/  C  <Q  B ) ) )
137, 12sylibrd 236 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( -.  C  e.  A  ->  B  <Q  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397    Or wor 4745   Q.cnq 9262    <Q cltq 9268   P.cnp 9269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-ni 9282  df-mi 9284  df-lti 9285  df-ltpq 9320  df-enq 9321  df-nq 9322  df-ltnq 9328  df-np 9391
This theorem is referenced by:  genpnnp  9415  psslinpr  9441  ltexprlem6  9451  ltexprlem7  9452  prlem936  9457  reclem4pr  9460
  Copyright terms: Public domain W3C validator