Theorem prtlem5 16245

Description: Lemma for prter1 16282, prter2 16285, prter3 16286 and prtex 16284.

Assertion

Ref	Expression
prtlem5	|- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x e. A (r e. x /\ s e. x))

Distinct variable groups:   v,u,x,r   u,s,v,x   u,A,v,x

Proof of Theorem prtlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2110	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x(x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
2	1	sbbii 1538	. . . . . . 7 |- ([r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> [r / u]E.x(x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
3	2	sbbii 1538	. . . . . 6 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> [s / v][r / u]E.x(x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
4		sbex 1739	. . . . . . 7 |- ([r / u]E.x(x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> E.x[r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
5	4	sbbii 1538	. . . . . 6 |- ([s / v][r / u]E.x(x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> [s / v]E.x[r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
6	3, 5	bitri 190	. . . . 5 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> [s / v]E.x[r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
7		sbex 1739	. . . . 5 |- ([s / v]E.x[r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> E.x[s / v][r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)))
8		sban 1607	. . . . . . 7 |- ([r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> ([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)))
9	8	sbbii 1538	. . . . . 6 |- ([s / v][r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> [s / v]([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)))
10	9	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.x[s / v][r / u](x e. A /\ (u e. x /\ v e. x)) <-> E.x[s / v]([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)))
11	6, 7, 10	3bitri 194	. . . 4 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x[s / v]([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)))
12		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> A.u x e. A)
13	12	sbf 1551	. . . . . . 7 |- ([r / u]x e. A <-> x e. A)
14		sban 1607	. . . . . . . 8 |- ([r / u](u e. x /\ v e. x) <-> ([r / u]u e. x /\ [r / u]v e. x))
15		elsb3 1718	. . . . . . . . 9 |- ([r / u]u e. x <-> r e. x)
16		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- (v e. x -> A.u v e. x)
17	16	sbf 1551	. . . . . . . . 9 |- ([r / u]v e. x <-> v e. x)
18	15, 17	anbi12i 540	. . . . . . . 8 |- (([r / u]u e. x /\ [r / u]v e. x) <-> (r e. x /\ v e. x))
19	14, 18	bitri 190	. . . . . . 7 |- ([r / u](u e. x /\ v e. x) <-> (r e. x /\ v e. x))
20	13, 19	anbi12i 540	. . . . . 6 |- (([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)) <-> (x e. A /\ (r e. x /\ v e. x)))
21	20	sbbii 1538	. . . . 5 |- ([s / v]([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)) <-> [s / v](x e. A /\ (r e. x /\ v e. x)))
22	21	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x[s / v]([r / u]x e. A /\ [r / u](u e. x /\ v e. x)) <-> E.x[s / v](x e. A /\ (r e. x /\ v e. x)))
23		sban 1607	. . . . 5 |- ([s / v](x e. A /\ (r e. x /\ v e. x)) <-> ([s / v]x e. A /\ [s / v](r e. x /\ v e. x)))
24	23	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x[s / v](x e. A /\ (r e. x /\ v e. x)) <-> E.x([s / v]x e. A /\ [s / v](r e. x /\ v e. x)))
25	11, 22, 24	3bitri 194	. . 3 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x([s / v]x e. A /\ [s / v](r e. x /\ v e. x)))
26		sban 1607	. . . . 5 |- ([s / v](r e. x /\ v e. x) <-> ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x))
27	26	anbi2i 538	. . . 4 |- (([s / v]x e. A /\ [s / v](r e. x /\ v e. x)) <-> ([s / v]x e. A /\ ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x)))
28	27	exbii 1398	. . 3 |- (E.x([s / v]x e. A /\ [s / v](r e. x /\ v e. x)) <-> E.x([s / v]x e. A /\ ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x)))
29		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (r e. x -> A.v r e. x)
30	29	sbf 1551	. . . . . . 7 |- ([s / v]r e. x <-> r e. x)
31		elsb3 1718	. . . . . . 7 |- ([s / v]v e. x <-> s e. x)
32	30, 31	anbi12i 540	. . . . . 6 |- (([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x) <-> (r e. x /\ s e. x))
33	32	anbi2i 538	. . . . 5 |- (([s / v]x e. A /\ ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x)) <-> ([s / v]x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
34	33	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x([s / v]x e. A /\ ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x)) <-> E.x([s / v]x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
35		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (x e. A -> A.v x e. A)
36	35	sbf 1551	. . . . . 6 |- ([s / v]x e. A <-> x e. A)
37	36	anbi1i 539	. . . . 5 |- (([s / v]x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)) <-> (x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
38	37	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x([s / v]x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)) <-> E.x(x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
39	34, 38	bitri 190	. . 3 |- (E.x([s / v]x e. A /\ ([s / v]r e. x /\ [s / v]v e. x)) <-> E.x(x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
40	25, 28, 39	3bitri 194	. 2 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x(x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
41		df-rex 2110	. 2 |- (E.x e. A (r e. x /\ s e. x) <-> E.x(x e. A /\ (r e. x /\ s e. x)))
42	40, 41	bitr4i 193	1 |- ([s / v][r / u]E.x e. A (u e. x /\ v e. x) <-> E.x e. A (r e. x /\ s e. x))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  E.wrex 2106

This theorem is referenced by:  prtlem13 16271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-rex 2110

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