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Theorem prtlem15 30220
Description: Lemma for prter1 30224 and prtex 30225. (Contributed by Rodolfo Medina, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
prtlem15  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    A( w, v, u)

Proof of Theorem prtlem15
StepHypRef Expression
1 anabs7 808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y
)  /\  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )
2 an43 30193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  <->  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )
32anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y
)  /\  ( (
u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  (
w  e.  x  /\  w  e.  y )
) ) )
41, 3, 23bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
) ) )
5 prtlem14 30219 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  ->  x  =  y ) ) )
6 an3 30195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  x  /\  v  e.  y
) )
7 elequ2 1772 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  y ) )
87anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( u  e.  x  /\  v  e.  x
)  <->  ( u  e.  x  /\  v  e.  y ) ) )
96, 8syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) )
105, 9syl8 70 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  ->  (
( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) ) )
1110imp4a 589 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) ) )  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
124, 11syl7bi 230 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
1312expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( Prt  A  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
1413rexlimdv 2953 . . 3  |-  ( ( Prt  A  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) )
1514reximdva 2938 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( u  e.  x  /\  v  e.  x
) ) )
16 elequ2 1772 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  z ) )
17 elequ2 1772 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  z ) )
1816, 17anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( u  e.  x  /\  v  e.  x
)  <->  ( u  e.  z  /\  v  e.  z ) ) )
1918cbvrexv 3089 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( u  e.  x  /\  v  e.  x )  <->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z )
)
2015, 19syl6ib 226 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   E.wrex 2815   Prt wprt 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-dif 3479  df-in 3483  df-nul 3786  df-prt 30217
This theorem is referenced by:  prter1  30224
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