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Theorem prtlem15 30859
Description: Lemma for prter1 30863 and prtex 30864. (Contributed by Rodolfo Medina, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
prtlem15  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z    x, A, y, z
Allowed substitution hints:    A( w, v, u)

Proof of Theorem prtlem15
StepHypRef Expression
1 anabs7 808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y
)  /\  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )  <->  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )
2 an43 30832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  <->  ( (
u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  ( w  e.  x  /\  w  e.  y
) ) )
32anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y
)  /\  ( (
u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  /\  (
w  e.  x  /\  w  e.  y )
) ) )
41, 3, 23bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
) ) )
5 prtlem14 30858 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  ->  x  =  y ) ) )
6 an3 30834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  x  /\  v  e.  y
) )
7 elequ2 1828 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  y ) )
87anbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( u  e.  x  /\  v  e.  x
)  <->  ( u  e.  x  /\  v  e.  y ) ) )
96, 8syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) )
105, 9syl8 70 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  ->  (
( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) ) )
1110imp4a 587 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( w  e.  x  /\  w  e.  y )  /\  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) ) )  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
124, 11syl7bi 230 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
1312expdimp 435 . . . 4  |-  ( ( Prt  A  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) ) )
1413rexlimdv 2944 . . 3  |-  ( ( Prt  A  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( ( u  e.  x  /\  w  e.  x )  /\  (
w  e.  y  /\  v  e.  y )
)  ->  ( u  e.  x  /\  v  e.  x ) ) )
1514reximdva 2929 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( u  e.  x  /\  v  e.  x
) ) )
16 elequ2 1828 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
u  e.  x  <->  u  e.  z ) )
17 elequ2 1828 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  z ) )
1816, 17anbi12d 708 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( u  e.  x  /\  v  e.  x
)  <->  ( u  e.  z  /\  v  e.  z ) ) )
1918cbvrexv 3082 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( u  e.  x  /\  v  e.  x )  <->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z )
)
2015, 19syl6ib 226 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( u  e.  x  /\  w  e.  x
)  /\  ( w  e.  y  /\  v  e.  y ) )  ->  E. z  e.  A  ( u  e.  z  /\  v  e.  z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   E.wrex 2805   Prt wprt 30855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-in 3468  df-nul 3784  df-prt 30856
This theorem is referenced by:  prter1  30863
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