Theorem prter3 16286

Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition.

Assertion

Ref	Expression
prter3	|- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))) -> R = S)

Distinct variable groups:   x,y,u,A   u,S

Proof of Theorem prter3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an12 542	. . . 4 |- ((Rel S /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))) <-> (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))))
2	1	anbi2i 538	. . 3 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))) <-> (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))))
3		anabs5 551	. . 3 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))) <-> (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))))
4	2, 3	bitri 190	. 2 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))) <-> (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))))
5		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . 12 |- (dom R = dom S -> (z e. dom R <-> z e. dom S))
6	5	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))) -> (z e. dom R <-> z e. dom S))
7	6	ad2antll 443	. . . . . . . . . 10 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (z e. dom R <-> z e. dom S))
8		prtlem70 16238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((Er S /\ z e. dom S) /\ ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ dom R = dom S) /\ (S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))) /\ R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)}) <-> ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) /\ z e. dom S))
9		prtlem10 16265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Er S -> (z e. dom S -> (zSw <-> E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S))))
10	9	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Er S /\ z e. dom S) -> (zSw <-> E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
11		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (dom R = dom S -> (dom R = U.A <-> dom S = U.A))
12		prtlem16 16272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> dom R = U.A)
13	11, 12	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (dom R = dom S -> (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> dom S = U.A))
14		rexeq 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (dom S = U.A -> (E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
15	13, 14	syl6com 64	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> (dom R = dom S -> (E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S))))
16	15	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ dom R = dom S) -> (E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
17		ecexg 5322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (S e. _V -> [t]S e. _V)
18		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (v = [t]S -> (z e. v <-> z e. [t]S))
19		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (v = [t]S -> (w e. v <-> w e. [t]S))
20	18, 19	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (v = [t]S -> ((z e. v /\ w e. v) <-> (z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
21	20	ceqsexgv 2393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ([t]S e. _V -> (E.v(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> (z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
22	17, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (S e. _V -> (E.v(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> (z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
23	22	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (S e. _V -> (E.t e. U.AE.v(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
24		rexcom4 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.t e. U.AE.v(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.vE.t e. U.A(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)))
25	23, 24	syl5bbr 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (S e. _V -> (E.vE.t e. U.A(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S)))
26		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.t e. U.A(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))))
27	26	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (E.vE.t e. U.A(v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.vE.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))))
28	25, 27	syl5rbbr 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (S e. _V -> (E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.vE.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v)))))
29		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- v e. _V
30	29	elqs 5348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (v e. (U.A/.S) <-> E.t e. U.Av = [t]S)
31		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (E.t e. U.Av = [t]S <-> E.t(t e. U.A /\ v = [t]S))
32	30, 31	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v e. (U.A/.S) <-> E.t(t e. U.A /\ v = [t]S))
33	32	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((v e. (U.A/.S) /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> (E.t(t e. U.A /\ v = [t]S) /\ (z e. v /\ w e. v)))
34		19.41v 1685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.t((t e. U.A /\ v = [t]S) /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> (E.t(t e. U.A /\ v = [t]S) /\ (z e. v /\ w e. v)))
35		anass 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((t e. U.A /\ v = [t]S) /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> (t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))))
36	35	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.t((t e. U.A /\ v = [t]S) /\ (z e. v /\ w e. v)) <-> E.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))))
37	33, 34, 36	3bitr2ri 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (E.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))) <-> (v e. (U.A/.S) /\ (z e. v /\ w e. v)))
38	37	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (E.vE.t(t e. U.A /\ (v = [t]S /\ (z e. v /\ w e. v))) <-> E.v(v e. (U.A/.S) /\ (z e. v /\ w e. v)))
39	28, 38	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (S e. _V -> (E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.v(v e. (U.A/.S) /\ (z e. v /\ w e. v))))
40		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.v e. (U.A/.S)(z e. v /\ w e. v) <-> E.v(v e. (U.A/.S) /\ (z e. v /\ w e. v)))
41	39, 40	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S e. _V -> (E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.v e. (U.A/.S)(z e. v /\ w e. v)))
42		rexeq 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U.A/.S) = (A \ {(/)}) -> (E.v e. (U.A/.S)(z e. v /\ w e. v) <-> E.v e. (A \ {(/)})(z e. v /\ w e. v)))
43	41, 42	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})) -> (E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.v e. (A \ {(/)})(z e. v /\ w e. v)))
44		prtlem100 16244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.v e. A (z e. v /\ w e. v) <-> E.v e. (A \ {(/)})(z e. v /\ w e. v))
45	43, 44	syl6bbr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})) -> (E.t e. U.A(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.v e. A (z e. v /\ w e. v)))
46	16, 45	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ dom R = dom S) /\ (S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))) -> (E.t e. dom S(z e. [t]S /\ w e. [t]S) <-> E.v e. A (z e. v /\ w e. v)))
47	10, 46	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Er S /\ z e. dom S) /\ ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ dom R = dom S) /\ (S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))) -> (zSw <-> E.v e. A (z e. v /\ w e. v)))
48		prtlem13 16271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> (zRw <-> E.v e. A (z e. v /\ w e. v)))
49	48	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> (E.v e. A (z e. v /\ w e. v) <-> zRw))
50	47, 49	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((Er S /\ z e. dom S) /\ ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ dom R = dom S) /\ (S e. _V /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))) /\ R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)}) -> (zSw <-> zRw))
51	8, 50	sylbir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- (((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) /\ z e. dom S) -> (zSw <-> zRw))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (z e. dom S -> (zSw <-> zRw)))
53	52	bicomdd 16228	. . . . . . . . . 10 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (z e. dom S -> (zRw <-> zSw)))
54	7, 53	sylbid 220	. . . . . . . . 9 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (z e. dom R -> (zRw <-> zSw)))
55		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
56	55	breldm 4161	. . . . . . . . 9 |- (zRw -> z e. dom R)
57	54, 56	syl5 20	. . . . . . . 8 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (zRw -> (zRw <-> zSw)))
58	57	ibd 654	. . . . . . 7 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (zRw -> zSw))
59	55	breldm 4161	. . . . . . . . 9 |- (zSw -> z e. dom S)
60	53, 59	syl5 20	. . . . . . . 8 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (zSw -> (zRw <-> zSw)))
61	60	ibdr 16239	. . . . . . 7 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (zSw -> zRw))
62	58, 61	impbid 574	. . . . . 6 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))) -> (zRw <-> zSw))
63	62	adantl 424	. . . . 5 |- (((Rel R /\ Rel S) /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))) -> (zRw <-> zSw))
64	63	eqbrrdv2 16255	. . . 4 |- (((Rel R /\ Rel S) /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))) -> R = S)
65	64	anasss 488	. . 3 |- ((Rel R /\ (Rel S /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))) -> R = S)
66		prtlem12 16270	. . 3 |- (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} -> Rel R)
67	65, 66	sylan 497	. 2 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)}))))))) -> R = S)
68	4, 67	sylbir 218	1 |- ((R = {<.x, y>. | E.u e. A (x e. u /\ y e. u)} /\ (Rel S /\ (Er S /\ (S e. _V /\ (dom R = dom S /\ (U.A/.S) = (A \ {(/)})))))) -> R = S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  Er wer 5315  [cec 5316  /.cqs 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323

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