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Theorem prter3 30225
Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter3  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)    S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 errel 7317 . . 3  |-  ( S  Er  U. A  ->  Rel  S )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  Rel  S )
3 prtlem18.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
43relopabi 5126 . . 3  |-  Rel  .~
53prtlem13 30211 . . . . . 6  |-  ( z  .~  w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  S  Er  U. A )
7 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  A )
8 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  v  =/=  (/) )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =/=  (/) )
10 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( v  e.  A  /\  v  =/=  (/) ) )
117, 9, 10sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( A  \  { (/) } ) )
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
1311, 12eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( U. A /. S
) )
14 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  z  e.  v )
15 qsel 7387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  v  e.  ( U. A /. S )  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ] S
)
166, 13, 14, 15syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =  [ z ] S
)
1716eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  w  e.  [ z ] S ) )
18 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
19 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2018, 19elec 7348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  [ z ] S  <->  z S w )
2117, 20syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )  /\  v  e.  A )  /\  z  e.  v
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2322pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  v  e.  A )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
2423rexbidva 2970 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  S  Er  U. A )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z S w )
2725, 26ercl 7319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z  e.  U. A
)
28 eluni2 4249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
3029ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
)
3130pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) ) )
32 r19.41v 3014 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) )
3331, 32syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
3424, 33bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  z S w ) )
355, 34syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3635adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3736eqbrrdv2 30206 . . 3  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
384, 37mpanl1 680 . 2  |-  ( ( Rel  S  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
392, 38mpancom 669 1  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   {copab 4504   Rel wrel 5004    Er wer 7305   [cec 7306   /.cqs 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314
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