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Theorem prter3 31885
Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter3  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)    S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 errel 7356 . . 3  |-  ( S  Er  U. A  ->  Rel  S )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  Rel  S )
3 prtlem18.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
43relopabi 4947 . . 3  |-  Rel  .~
53prtlem13 31871 . . . . . 6  |-  ( z  .~  w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )
6 simpll 752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  S  Er  U. A )
7 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  A )
8 ne0i 3743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  v  =/=  (/) )
98ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =/=  (/) )
10 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( v  e.  A  /\  v  =/=  (/) ) )
117, 9, 10sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( A  \  { (/) } ) )
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
1311, 12eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( U. A /. S
) )
14 simprr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  z  e.  v )
15 qsel 7426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  v  e.  ( U. A /. S )  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ] S
)
166, 13, 14, 15syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =  [ z ] S
)
1716eleq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  w  e.  [ z ] S ) )
18 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
19 vex 3061 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2018, 19elec 7387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  [ z ] S  <->  z S w )
2117, 20syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2221anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )  /\  v  e.  A )  /\  z  e.  v
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2322pm5.32da 639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  v  e.  A )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
2423rexbidva 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
25 simpll 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  S  Er  U. A )
26 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z S w )
2725, 26ercl 7358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z  e.  U. A
)
28 eluni2 4194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
3029ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
)
3130pm4.71rd 633 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) ) )
32 r19.41v 2958 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) )
3331, 32syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
3424, 33bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  z S w ) )
355, 34syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3635adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3736eqbrrdv2 31866 . . 3  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
384, 37mpanl1 678 . 2  |-  ( ( Rel  S  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
392, 38mpancom 667 1  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2754    \ cdif 3410   (/)c0 3737   {csn 3971   U.cuni 4190   class class class wbr 4394   {copab 4451   Rel wrel 4827    Er wer 7344   [cec 7345   /.cqs 7346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353
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