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Theorem prter3 29170
Description: For every partition there exists a unique equivalence relation whose quotient set equals the partition. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter3  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)    S( x, y, u)

Proof of Theorem prter3
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 errel 7215 . . 3  |-  ( S  Er  U. A  ->  Rel  S )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  Rel  S )
3 prtlem18.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
43relopabi 5068 . . 3  |-  Rel  .~
53prtlem13 29156 . . . . . 6  |-  ( z  .~  w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v ) )
6 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  S  Er  U. A )
7 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  A )
8 ne0i 3746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  v  =/=  (/) )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =/=  (/) )
10 eldifsn 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( v  e.  A  /\  v  =/=  (/) ) )
117, 9, 10sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( A  \  { (/) } ) )
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
1311, 12eleqtrrd 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  e.  ( U. A /. S
) )
14 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  z  e.  v )
15 qsel 7284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  v  e.  ( U. A /. S )  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ] S
)
166, 13, 14, 15syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  v  =  [ z ] S
)
1716eleq2d 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  w  e.  [ z ] S ) )
18 vex 3075 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
19 vex 3075 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2018, 19elec 7245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  [ z ] S  <->  z S w )
2117, 20syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  (
v  e.  A  /\  z  e.  v )
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2221anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/)
} ) )  /\  v  e.  A )  /\  z  e.  v
)  ->  ( w  e.  v  <->  z S w ) )
2322pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  v  e.  A )  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
2423rexbidva 2854 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
25 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  S  Er  U. A )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z S w )
2725, 26ercl 7217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  -> 
z  e.  U. A
)
28 eluni2 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  /\  z S w )  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
3029ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  ->  E. v  e.  A  z  e.  v )
)
3130pm4.71rd 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) ) )
32 r19.41v 2973 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  z S w ) )
3331, 32syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z S w  <->  E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  z S w ) ) )
3424, 33bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  z S w ) )
355, 34syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3635adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  (
z  .~  w  <->  z S w ) )
3736eqbrrdv2 29151 . . 3  |-  ( ( ( Rel  .~  /\  Rel  S )  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
384, 37mpanl1 680 . 2  |-  ( ( Rel  S  /\  ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S
)  =  ( A 
\  { (/) } ) ) )  ->  .~  =  S )
392, 38mpancom 669 1  |-  ( ( S  Er  U. A  /\  ( U. A /. S )  =  ( A  \  { (/) } ) )  ->  .~  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797    \ cdif 3428   (/)c0 3740   {csn 3980   U.cuni 4194   class class class wbr 4395   {copab 4452   Rel wrel 4948    Er wer 7203   [cec 7204   /.cqs 7205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-er 7206  df-ec 7208  df-qs 7212
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