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Theorem prter2 30226
Description: The quotient set of the equivalence relation generated by a partition equals the partition itself. (Contributed by Rodolfo Medina, 17-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
prtlem18.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
Assertion
Ref Expression
prter2  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Distinct variable group:    x, u, y, A
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, u)

Proof of Theorem prter2
Dummy variables  p  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 3133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2 r19.41v 3014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
32exbii 1644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z E. v  e.  A  ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
41, 3bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
5 df-rex 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
65rexbii 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  <->  E. v  e.  A  E. z ( z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
7 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  p  e. 
_V
87elqs 7361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  )
9 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( z  e.  U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
10 eluni2 4249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. v  e.  A  z  e.  v )
1110anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  <->  ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
1211exbii 1644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z ( z  e. 
U. A  /\  p  =  [ z ]  .~  ) 
<->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
139, 12bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. A p  =  [ z ]  .~  <->  E. z ( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
148, 13bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. z
( E. v  e.  A  z  e.  v  /\  p  =  [
z ]  .~  )
)
154, 6, 143bitr4ri 278 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )
16 prtlem18.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. u  e.  A  ( x  e.  u  /\  y  e.  u ) }
1716prtlem19 30223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
v  e.  A  /\  z  e.  v )  ->  v  =  [ z ]  .~  ) )
1817ralrimivv 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prt 
A  ->  A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  )
19 2r19.29 30199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. v  e.  A  A. z  e.  v 
v  =  [ z ]  .~  /\  E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) )
2019ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  A  A. z  e.  v  v  =  [ z ]  .~  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [
z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  p  =  [ z ]  .~  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
( v  =  [
z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
2215, 21syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  ) ) )
23 eqtr3 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  v  =  p )
2423reximi 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  ( v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. z  e.  v  v  =  p )
2524reximi 2932 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  (
v  =  [ z ]  .~  /\  p  =  [ z ]  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v 
v  =  p )
2622, 25syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p ) )
27 df-rex 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  E. z
( z  e.  v  /\  v  =  p ) )
28 19.41v 1945 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  e.  v  /\  v  =  p )  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
2927, 28bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  <->  ( E. z  z  e.  v  /\  v  =  p
) )
3029simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  v  v  =  p  ->  v  =  p )
3130reximi 2932 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. z  e.  v  v  =  p  ->  E. v  e.  A  v  =  p )
3226, 31syl6 33 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  E. v  e.  A  v  =  p ) )
33 risset 2987 . . . . . 6  |-  ( p  e.  A  <->  E. v  e.  A  v  =  p )
3432, 33syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  A ) )
3516prtlem400 30215 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )
36 prtlem90 30202 . . . . . 6  |-  ( -.  (/)  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  (
p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3735, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  =/=  (/) ) )
3834, 37jcad 533 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) ) )
39 eldifsn 4152 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( p  e.  A  /\  p  =/=  (/) ) )
4038, 39syl6ibr 227 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  ->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
41 neldifsn 4154 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )
42 n0el 30204 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p )
4341, 42mpbi 208 . . . . . 6  |-  A. p  e.  ( A  \  { (/)
} ) E. z 
z  e.  p
4443rspec 2832 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  E. z  z  e.  p )
45 eldifi 3626 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  ->  p  e.  A )
4644, 45jca 532 . . . 4  |-  ( p  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A ) )
4716prtlem19 30223 . . . . . . . . 9  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
p  e.  A  /\  z  e.  p )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
4847ancomsd 454 . . . . . . . 8  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  =  [ z ]  .~  ) )
49 elunii 4250 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  z  e.  U. A
)
5048, 49jca2r 30190 . . . . . . 7  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )
) )
51 prtlem11 30211 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  _V  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) ) )
527, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. A  -> 
( p  =  [
z ]  .~  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5352imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U. A  /\  p  =  [
z ]  .~  )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5450, 53syl6 33 . . . . . 6  |-  ( Prt 
A  ->  ( (
z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5554eximdv 1686 . . . . 5  |-  ( Prt 
A  ->  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  ->  E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
56 19.41v 1945 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e.  p  /\  p  e.  A )  <->  ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
) )
57 19.9v 1728 . . . . 5  |-  ( E. z  p  e.  ( U. A /.  .~  ) 
<->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) )
5855, 56, 573imtr3g 269 . . . 4  |-  ( Prt 
A  ->  ( ( E. z  z  e.  p  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
5946, 58syl5 32 . . 3  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( A  \  { (/)
} )  ->  p  e.  ( U. A /.  .~  ) ) )
6040, 59impbid 191 . 2  |-  ( Prt 
A  ->  ( p  e.  ( U. A /.  .~  )  <->  p  e.  ( A  \  { (/) } ) ) )
6160eqrdv 2464 1  |-  ( Prt 
A  ->  ( U. A /.  .~  )  =  ( A  \  { (/)
} ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   {copab 4504   [cec 7306   /.cqs 7307   Prt wprt 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-ec 7310  df-qs 7314  df-prt 30217
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