MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prss Structured version   Unicode version

Theorem prss 4186
Description: A pair of elements of a class is a subset of the class. Theorem 7.5 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
prss.1  |-  A  e. 
_V
prss.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
prss  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )

Proof of Theorem prss
StepHypRef Expression
1 unss 3683 . 2  |-  ( ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C )  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
2 prss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32snss 4156 . . 3  |-  ( A  e.  C  <->  { A }  C_  C )
4 prss.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
54snss 4156 . . 3  |-  ( B  e.  C  <->  { B }  C_  C )
63, 5anbi12i 697 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  ( { A }  C_  C  /\  { B }  C_  C ) )
7 df-pr 4035 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
87sseq1i 3533 . 2  |-  ( { A ,  B }  C_  C  <->  ( { A }  u.  { B } )  C_  C
)
91, 6, 83bitr4i 277 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  C )  <->  { A ,  B }  C_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   {csn 4032   {cpr 4034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-v 3120  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-sn 4033  df-pr 4035
This theorem is referenced by:  tpss  4197  prsspw  4204  uniintsn  4324  pwssun  4791  xpsspwOLD  5122  dffv2  5946  fiint  7807  wunex2  9126  hashfun  12471  prdsle  14729  prdsless  14730  prdsleval  14744  pwsle  14759  acsfn2  14930  joinfval  15500  joindmss  15506  meetfval  15514  meetdmss  15520  clatl  15615  ipoval  15653  ipolerval  15655  eqgfval  16098  eqgval  16099  gaorb  16194  pmtrrn2  16335  efgcpbllema  16622  frgpuplem  16640  drngnidl  17724  drnglpir  17748  isnzr2hash  17759  ltbval  17983  ltbwe  17984  opsrle  17987  opsrtoslem1  17995  thlle  18574  isphtpc  21339  axlowdimlem4  24039  usgrarnedg  24175  cusgrarn  24250  frgraun  24787  frisusgranb  24788  frgra2v  24790  frgra3vlem1  24791  frgra3vlem2  24792  2pthfrgrarn  24800  frgrancvvdeqlem3  24824  shincli  26071  chincli  26169  coinfliprv  28214  altxpsspw  29522  fourierdlem103  31801  fourierdlem104  31802
  Copyright terms: Public domain W3C validator