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Theorem prsiga 26739
Description: The smallest possible sigma-algebra containing  O (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prsiga  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem prsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 4572 . . 3  |-  (/)  e.  ~P O
2 pwidg 3984 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  ~P O )
3 prssi 4140 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  ~P O  /\  O  e.  ~P O )  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
5 prid2g 4093 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  { (/) ,  O }
)
6 dif0 3860 . . . . 5  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
76, 5syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  (/) )  e.  { (/)
,  O } )
8 difid 3858 . . . . 5  |-  ( O 
\  O )  =  (/)
9 0ex 4533 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
109prid1 4094 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  O }
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  O } )
128, 11syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  O )  e. 
{ (/) ,  O }
)
13 difeq2 3579 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
1413eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }
) )
15 difeq2 3579 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( O  \  x )  =  ( O  \  O
) )
1615eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( x  =  O  ->  (
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  <->  ( O  \  O )  e.  { (/)
,  O } ) )
1714, 16ralprg 4036 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
189, 17mpan 670 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
197, 12, 18mpbir2and 913 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O } )
20 uni0 4229 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
2120, 10eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  e.  { (/)
,  O }
229unisn 4217 . . . . . . . . 9  |-  U. { (/)
}  =  (/)
2322, 10eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) ,  O }
2421, 23pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( U. (/) 
e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } )
25 snex 4644 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
269, 25pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  /\  { (/) }  e.  _V )
27 unieq 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2827eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O } 
<-> 
U. (/)  e.  { (/) ,  O } ) )
29 unieq 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  U. x  =  U. { (/)
} )
3029eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } ) )
3128, 30ralprg 4036 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( U. (/)  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3226, 31mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. (/)  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3324, 32mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
34 unisng 4218 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  =  O
)
3534, 5eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  e.  { (/) ,  O } )
36 uniprg 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
379, 36mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
38 uncom 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  O )  =  ( O  u.  (/) )
39 un0 3773 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  u.  (/) )  =  O
4038, 39eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  O )  =  O
4137, 40syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  O )
4241, 5eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  e.  {
(/) ,  O }
)
43 snex 4644 . . . . . . . . 9  |-  { O }  e.  _V
44 prex 4645 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  O }  e.  _V
4543, 44pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( { O }  e.  _V  /\ 
{ (/) ,  O }  e.  _V )
46 unieq 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { O }  ->  U. x  =  U. { O } )
4746eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { O }  ->  ( U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  U. { O }  e.  {
(/) ,  O }
) )
48 unieq 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  U. x  =  U. { (/) ,  O }
)
4948eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) )
5047, 49ralprg 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( { O }  e.  _V  /\  { (/) ,  O }  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  ( U. { O }  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) ) )
5145, 50mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. { O }  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
5235, 42, 51mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O } )
53 ralun 3649 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  { (/)
,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
5433, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
55 pwpr 4198 . . . . . 6  |-  ~P { (/)
,  O }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } )
5655raleqi 3027 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  A. x  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } ) U. x  e.  { (/) ,  O }
)
5754, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/)
,  O } )
58 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
5958ralimi 2819 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  A. x  e.  ~P  {
(/) ,  O } 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O } ) )
6057, 59syl 16 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
615, 19, 603jca 1168 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) )
62 issiga 26719 . . 3  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  O }  e.  (sigAlgebra `
 O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) ) )
6344, 62ax-mp 5 . 2  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) )
644, 61, 63sylanbrc 664 1  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {cpr 3990   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   omcom 6589    ~<_ cdom 7421  sigAlgebracsiga 26715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-siga 26716
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