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Theorem prsiga 28953
Description: The smallest possible sigma-algebra containing  O. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prsiga  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem prsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 4572 . . 3  |-  (/)  e.  ~P O
2 pwidg 3964 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  ~P O )
3 prssi 4128 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  ~P O  /\  O  e.  ~P O )  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
41, 2, 3sylancr 669 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
5 prid2g 4079 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  { (/) ,  O }
)
6 dif0 3837 . . . . 5  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
76, 5syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  (/) )  e.  { (/)
,  O } )
8 difid 3835 . . . . 5  |-  ( O 
\  O )  =  (/)
9 0ex 4535 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
109prid1 4080 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  O }
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  O } )
128, 11syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  O )  e. 
{ (/) ,  O }
)
13 difeq2 3545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
1413eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }
) )
15 difeq2 3545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( O  \  x )  =  ( O  \  O
) )
1615eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( x  =  O  ->  (
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  <->  ( O  \  O )  e.  { (/)
,  O } ) )
1714, 16ralprg 4021 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
189, 17mpan 676 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
197, 12, 18mpbir2and 933 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O } )
20 uni0 4225 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
2120, 10eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  e.  { (/)
,  O }
229unisn 4213 . . . . . . . . 9  |-  U. { (/)
}  =  (/)
2322, 10eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) ,  O }
2421, 23pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( U. (/) 
e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } )
25 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
269, 25pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  /\  { (/) }  e.  _V )
27 unieq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2827eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O } 
<-> 
U. (/)  e.  { (/) ,  O } ) )
29 unieq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  U. x  =  U. { (/)
} )
3029eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } ) )
3128, 30ralprg 4021 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( U. (/)  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3226, 31mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. (/)  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3324, 32mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
34 unisng 4214 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  =  O
)
3534, 5eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  e.  { (/) ,  O } )
36 uniprg 4212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
379, 36mpan 676 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
38 uncom 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  O )  =  ( O  u.  (/) )
39 un0 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  u.  (/) )  =  O
4038, 39eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  O )  =  O
4137, 40syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  O )
4241, 5eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  e.  {
(/) ,  O }
)
43 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { O }  e.  _V
44 prex 4642 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  O }  e.  _V
4543, 44pm3.2i 457 . . . . . . . 8  |-  ( { O }  e.  _V  /\ 
{ (/) ,  O }  e.  _V )
46 unieq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { O }  ->  U. x  =  U. { O } )
4746eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { O }  ->  ( U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  U. { O }  e.  {
(/) ,  O }
) )
48 unieq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  U. x  =  U. { (/) ,  O }
)
4948eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) )
5047, 49ralprg 4021 . . . . . . . 8  |-  ( ( { O }  e.  _V  /\  { (/) ,  O }  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  ( U. { O }  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) ) )
5145, 50mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. { O }  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
5235, 42, 51mpbir2and 933 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O } )
53 ralun 3616 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  { (/)
,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
5433, 52, 53syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
55 pwpr 4194 . . . . . 6  |-  ~P { (/)
,  O }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } )
5655raleqi 2991 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  A. x  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } ) U. x  e.  { (/) ,  O }
)
5754, 56sylibr 216 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/)
,  O } )
58 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
5958ralimi 2781 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  A. x  e.  ~P  {
(/) ,  O } 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O } ) )
6057, 59syl 17 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
615, 19, 603jca 1188 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) )
62 issiga 28933 . . 3  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  O }  e.  (sigAlgebra `
 O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) ) )
6344, 62ax-mp 5 . 2  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) )
644, 61, 63sylanbrc 670 1  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   omcom 6692    ~<_ cdom 7567  sigAlgebracsiga 28929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-siga 28930
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