Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsiga Structured version   Unicode version

Theorem prsiga 27882
Description: The smallest possible sigma-algebra containing  O (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prsiga  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )

Proof of Theorem prsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 4616 . . 3  |-  (/)  e.  ~P O
2 pwidg 4023 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  ~P O )
3 prssi 4183 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  ~P O  /\  O  e.  ~P O )  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  C_  ~P O )
5 prid2g 4134 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  { (/) ,  O }
)
6 dif0 3897 . . . . 5  |-  ( O 
\  (/) )  =  O
76, 5syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  (/) )  e.  { (/)
,  O } )
8 difid 3895 . . . . 5  |-  ( O 
\  O )  =  (/)
9 0ex 4577 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
109prid1 4135 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  O }
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  O } )
128, 11syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  \  O )  e. 
{ (/) ,  O }
)
13 difeq2 3616 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( O 
\  x )  =  ( O  \  (/) ) )
1413eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( O  \  x )  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }
) )
15 difeq2 3616 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( O  \  x )  =  ( O  \  O
) )
1615eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  O  ->  (
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  <->  ( O  \  O )  e.  { (/)
,  O } ) )
1714, 16ralprg 4076 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
189, 17mpan 670 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  O }  ( O 
\  x )  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( ( O  \  (/) )  e. 
{ (/) ,  O }  /\  ( O  \  O
)  e.  { (/) ,  O } ) ) )
197, 12, 18mpbir2and 920 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O } )
20 uni0 4272 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
2120, 10eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  e.  { (/)
,  O }
229unisn 4260 . . . . . . . . 9  |-  U. { (/)
}  =  (/)
2322, 10eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) ,  O }
2421, 23pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( U. (/) 
e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } )
25 snex 4688 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  _V
269, 25pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  /\  { (/) }  e.  _V )
27 unieq 4253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2827eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O } 
<-> 
U. (/)  e.  { (/) ,  O } ) )
29 unieq 4253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) }  ->  U. x  =  U. { (/)
} )
3029eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  U. { (/) }  e.  { (/) ,  O } ) )
3128, 30ralprg 4076 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  { (/)
}  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  ( U. (/)  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3226, 31mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. (/)  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
3324, 32mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { (/) ,  { (/) } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
34 unisng 4261 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  =  O
)
3534, 5eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { O }  e.  { (/) ,  O } )
36 uniprg 4259 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  O  e.  V )  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
379, 36mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  ( (/)  u.  O ) )
38 uncom 3648 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  O )  =  ( O  u.  (/) )
39 un0 3810 . . . . . . . . . 10  |-  ( O  u.  (/) )  =  O
4038, 39eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  O )  =  O
4137, 40syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  =  O )
4241, 5eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  U. { (/)
,  O }  e.  {
(/) ,  O }
)
43 snex 4688 . . . . . . . . 9  |-  { O }  e.  _V
44 prex 4689 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  O }  e.  _V
4543, 44pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( { O }  e.  _V  /\ 
{ (/) ,  O }  e.  _V )
46 unieq 4253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { O }  ->  U. x  =  U. { O } )
4746eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { O }  ->  ( U. x  e. 
{ (/) ,  O }  <->  U. { O }  e.  {
(/) ,  O }
) )
48 unieq 4253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  U. x  =  U. { (/) ,  O }
)
4948eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) ,  O }  ->  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) )
5047, 49ralprg 4076 . . . . . . . 8  |-  ( ( { O }  e.  _V  /\  { (/) ,  O }  e.  _V )  ->  ( A. x  e. 
{ { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O }  <->  ( U. { O }  e.  { (/)
,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/) ,  O }
) ) )
5145, 50mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  V  ->  ( A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/) ,  O } 
<->  ( U. { O }  e.  { (/) ,  O }  /\  U. { (/) ,  O }  e.  { (/)
,  O } ) ) )
5235, 42, 51mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e.  { (/)
,  O } )
53 ralun 3686 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  { (/)
,  { (/) } } U. x  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  { { O } ,  { (/) ,  O } } U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
5433, 52, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { O } ,  { (/)
,  O } }
) U. x  e. 
{ (/) ,  O }
)
55 pwpr 4241 . . . . . 6  |-  ~P { (/)
,  O }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } )
5655raleqi 3062 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  <->  A. x  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { O } ,  { (/) ,  O } } ) U. x  e.  { (/) ,  O }
)
5754, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/)
,  O } )
58 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
5958ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  { (/) ,  O } U. x  e.  { (/) ,  O }  ->  A. x  e.  ~P  {
(/) ,  O } 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O } ) )
6057, 59syl 16 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  { (/)
,  O } ) )
615, 19, 603jca 1176 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) )
62 issiga 27862 . . 3  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  O }  e.  (sigAlgebra `
 O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) ) )
6344, 62ax-mp 5 . 2  |-  ( {
(/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( { (/)
,  O }  C_  ~P O  /\  ( O  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e. 
{ (/) ,  O } 
( O  \  x
)  e.  { (/) ,  O }  /\  A. x  e.  ~P  { (/) ,  O }  ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  { (/) ,  O }
) ) ) )
644, 61, 63sylanbrc 664 1  |-  ( O  e.  V  ->  { (/) ,  O }  e.  (sigAlgebra `  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   {cpr 4029   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   omcom 6685    ~<_ cdom 7515  sigAlgebracsiga 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-siga 27859
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator