Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsal Structured version   Unicode version

Theorem prsal 38024
Description: The pair of the empty set and the whole base is a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prsal  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )

Proof of Theorem prsal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4554 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21prid1 4106 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
,  X }
32a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
41a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  _V )
5 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  V )
6 uniprg 4231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
74, 5, 6syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
8 uncom 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  X )  =  ( X  u.  (/) )
9 un0 3788 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
108, 9eqtri 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  X )  =  X
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
u.  X )  =  X )
12 eqidd 2424 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  =  X )
137, 11, 123eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  X )
1413difeq1d 3583 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
1514adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
16 difeq2 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( X 
\  y )  =  ( X  \  (/) ) )
1716adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  ( X 
\  (/) ) )
18 dif0 3866 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  (/) )  =  X )
2017, 19eqtrd 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  X )
21 prid2g 4105 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
2221adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  ->  X  e.  { (/) ,  X } )
2320, 22eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
2423adantlr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
25 simpll 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  X  e.  V )
26 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  X } )
27 neqne 37279 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
2827adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
29 elprn1 37577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  X )
3026, 28, 29syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
3130adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
32 difeq2 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  ( X  \  X
) )
33 difid 3864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  X )  =  (/) )
3532, 34eqtrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  (/) )
362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
3735, 36eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
3837adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  X )  ->  ( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
3925, 31, 38syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
4024, 39pm2.61dan 799 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4115, 40eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4241ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  { (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
43 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  C_ 
{ (/) ,  X }
)
44 uniss 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  { (/) ,  X }  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  U. y  C_ 
U. { (/) ,  X } )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4713adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. { (/) ,  X }  =  X )
4846, 47sseqtrd 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  X )
4948adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  C_  X )
50 elssuni 4246 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  y  ->  X  C_ 
U. y )
5150adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  C_ 
U. y )
5249, 51jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_  U. y ) )
53 eqss 3480 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  X  <->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_ 
U. y ) )
5452, 53sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  =  X )
5521ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
5654, 55eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
57 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ~P { (/) ,  X } )
58 pwpr 4213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P { (/)
,  X }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
5957, 58syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
6059adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P { (/)
,  X }  /\  -.  X  e.  y
)  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } ) )
6160adantll 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
62 snidg 4023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  { X } )
64 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { X }  ->  y  =  { X } )
6564eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { X }  ->  { X }  =  y )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  { X }  =  y )
6763, 66eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
6867adantlr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
695ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  V
)
70 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
7164necon3bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  y  =  { X }  ->  y  =/=  { X } )
7271adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =/=  { X } )
73 elprn1 37577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  y  =/=  { X }
)  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7470, 72, 73syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7574adantll 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7621adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
77 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7877eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  { (/) ,  X }  =  y )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  { (/) ,  X }  =  y )
8076, 79eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  y )
8169, 75, 80syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
8268, 81pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
8382adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
84 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  -.  X  e.  y )
8583, 84pm2.65da 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y
)  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
8685adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
87 elunnel2 37265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
8861, 86, 87syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
89 unieq 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
90 uni0 4244 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
9289, 91eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
9392adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
94 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
9527adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
96 elprn1 37577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  { (/) } )
9794, 95, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  { (/) } )
98 unieq 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  U. { (/)
} )
991unisn 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. { (/)
}  =  (/)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. { (/) }  =  (/) )
10198, 100eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  (/) )
10297, 101syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
10393, 102pm2.61dan 799 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) ,  { (/)
} }  ->  U. y  =  (/) )
10488, 103syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  =  (/) )
1052a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
106104, 105eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
10756, 106pm2.61dan 799 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } )
108107a1d 27 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  -> 
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } ) )
109108ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  { (/)
,  X } ) )
1103, 42, 1093jca 1186 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) )
111 prex 4661 . . . 4  |-  { (/) ,  X }  e.  _V
112111a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e.  _V )
113 issal 38020 . . 3  |-  ( {
(/) ,  X }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  X }  e. SAlg  <->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
114112, 113syl 17 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( { (/) ,  X }  e. SAlg  <-> 
( (/)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  { (/) ,  X }  ( U. { (/)
,  X }  \ 
y )  e.  { (/)
,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/)
,  X }  (
y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
115110, 114mpbird 236 1  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   {cpr 3999   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   omcom 6704    ~<_ cdom 7573  SAlgcsalg 38014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-uni 4218  df-salg 38015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator