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Theorem prsal 38291
Description: The pair of the empty set and the whole base is a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prsal  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )

Proof of Theorem prsal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4528 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21prid1 4071 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
,  X }
32a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
41a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  _V )
5 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  V )
6 uniprg 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
74, 5, 6syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
8 uncom 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  X )  =  ( X  u.  (/) )
9 un0 3762 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
108, 9eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  X )  =  X
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
u.  X )  =  X )
12 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  =  X )
137, 11, 123eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  X )
1413difeq1d 3539 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
1514adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
16 difeq2 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( X 
\  y )  =  ( X  \  (/) ) )
1716adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  ( X 
\  (/) ) )
18 dif0 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  (/) )  =  X )
2017, 19eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  X )
21 prid2g 4070 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
2221adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  ->  X  e.  { (/) ,  X } )
2320, 22eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
2423adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
25 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  X  e.  V )
26 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  X } )
27 neqne 2651 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
2827adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
29 elprn1 37810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  X )
3026, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
3130adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
32 difeq2 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  ( X  \  X
) )
33 difid 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  X )  =  (/) )
3532, 34eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  (/) )
362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
3735, 36eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
3837adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  X )  ->  ( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
3925, 31, 38syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
4024, 39pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4115, 40eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4241ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  { (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
43 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  C_ 
{ (/) ,  X }
)
44 uniss 4211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  { (/) ,  X }  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  U. y  C_ 
U. { (/) ,  X } )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4713adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. { (/) ,  X }  =  X )
4846, 47sseqtrd 3454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  X )
4948adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  C_  X )
50 elssuni 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  y  ->  X  C_ 
U. y )
5150adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  C_ 
U. y )
5249, 51jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_  U. y ) )
53 eqss 3433 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  X  <->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_ 
U. y ) )
5452, 53sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  =  X )
5521ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
5654, 55eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
57 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ~P { (/) ,  X } )
58 pwpr 4186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P { (/)
,  X }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
5957, 58syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P { (/)
,  X }  /\  -.  X  e.  y
)  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } ) )
6160adantll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
62 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  { X } )
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { X }  ->  y  =  { X } )
6564eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { X }  ->  { X }  =  y )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  { X }  =  y )
6763, 66eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
6867adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  V
)
70 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
7164necon3bi 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  y  =  { X }  ->  y  =/=  { X } )
7271adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =/=  { X } )
73 elprn1 37810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  y  =/=  { X }
)  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7470, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7574adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7621adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7877eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  { (/) ,  X }  =  y )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  { (/) ,  X }  =  y )
8076, 79eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  y )
8169, 75, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
8268, 81pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
8382adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
84 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  -.  X  e.  y )
8583, 84pm2.65da 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y
)  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
8685adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
87 elunnel2 37423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
8861, 86, 87syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
89 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
90 uni0 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
9289, 91eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
9392adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
94 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
9527adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
96 elprn1 37810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  { (/) } )
9794, 95, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  { (/) } )
98 unieq 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  U. { (/)
} )
991unisn 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. { (/)
}  =  (/)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. { (/) }  =  (/) )
10198, 100eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  (/) )
10297, 101syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
10393, 102pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) ,  { (/)
} }  ->  U. y  =  (/) )
10488, 103syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  =  (/) )
1052a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
106104, 105eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
10756, 106pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } )
108107a1d 25 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  -> 
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } ) )
109108ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  { (/)
,  X } ) )
1103, 42, 1093jca 1210 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) )
111 prex 4642 . . . 4  |-  { (/) ,  X }  e.  _V
112111a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e.  _V )
113 issal 38287 . . 3  |-  ( {
(/) ,  X }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  X }  e. SAlg  <->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
114112, 113syl 17 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( { (/) ,  X }  e. SAlg  <-> 
( (/)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  { (/) ,  X }  ( U. { (/)
,  X }  \ 
y )  e.  { (/)
,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/)
,  X }  (
y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
115110, 114mpbird 240 1  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   omcom 6711    ~<_ cdom 7585  SAlgcsalg 38281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-uni 4191  df-salg 38282
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