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Theorem prsal 38179
Description: The pair of the empty set and the whole base is a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prsal  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )

Proof of Theorem prsal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4535 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21prid1 4080 . . . 4  |-  (/)  e.  { (/)
,  X }
32a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
41a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  (/)  e.  _V )
5 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  V )
6 uniprg 4212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
74, 5, 6syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  ( (/)  u.  X ) )
8 uncom 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  u.  X )  =  ( X  u.  (/) )
9 un0 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
108, 9eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  X )  =  X
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
u.  X )  =  X )
12 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  =  X )
137, 11, 123eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  U. { (/)
,  X }  =  X )
1413difeq1d 3550 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
1514adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  =  ( X  \  y
) )
16 difeq2 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( X 
\  y )  =  ( X  \  (/) ) )
1716adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  ( X 
\  (/) ) )
18 dif0 3837 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  (/) )  =  X )
2017, 19eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  =  X )
21 prid2g 4079 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
2221adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  ->  X  e.  { (/) ,  X } )
2320, 22eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
2423adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
25 simpll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  X  e.  V )
26 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  X } )
27 neqne 37374 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) )
2827adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
29 elprn1 37713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  X )
3026, 28, 29syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  X }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
3130adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  X )
32 difeq2 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  ( X  \  X
) )
33 difid 3835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  X )  =  (/) )
3532, 34eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  =  (/) )
362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
3735, 36eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
3837adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  X )  ->  ( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
3925, 31, 38syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
( X  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
4024, 39pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( X  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4115, 40eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { (/) ,  X } )  ->  ( U. { (/) ,  X }  \  y )  e. 
{ (/) ,  X }
)
4241ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  { (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X } )
43 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  C_ 
{ (/) ,  X }
)
44 uniss 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  { (/) ,  X }  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  U. y  C_ 
U. { (/) ,  X } )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  U. { (/)
,  X } )
4713adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. { (/) ,  X }  =  X )
4846, 47sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  C_  X )
4948adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  C_  X )
50 elssuni 4227 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  y  ->  X  C_ 
U. y )
5150adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  C_ 
U. y )
5249, 51jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_  U. y ) )
53 eqss 3447 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  X  <->  ( U. y  C_  X  /\  X  C_ 
U. y ) )
5452, 53sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  =  X )
5521ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
5654, 55eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
57 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ~P { (/) ,  X } )
58 pwpr 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P { (/)
,  X }  =  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
5957, 58syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P { (/) ,  X }  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
6059adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ~P { (/)
,  X }  /\  -.  X  e.  y
)  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } ) )
6160adantll 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  ( { (/) ,  { (/)
} }  u.  { { X } ,  { (/)
,  X } }
) )
62 snidg 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  { X } )
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { X }  ->  y  =  { X } )
6564eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { X }  ->  { X }  =  y )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  { X }  =  y )
6763, 66eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
6867adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
695ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  V
)
70 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
7164necon3bi 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  y  =  { X }  ->  y  =/=  { X } )
7271adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =/=  { X } )
73 elprn1 37713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  y  =/=  { X }
)  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7470, 72, 73syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } }  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/) ,  X }
)
7574adantll 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7621adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  { (/) ,  X }
)
77 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  y  =  { (/)
,  X } )
7877eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { (/) ,  X }  ->  { (/) ,  X }  =  y )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  { (/) ,  X }  =  y )
8076, 79eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  =  { (/) ,  X } )  ->  X  e.  y )
8169, 75, 80syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  =  { X } )  ->  X  e.  y )
8268, 81pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
8382adantlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  X  e.  y )
84 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y )  /\  y  e. 
{ { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  -.  X  e.  y )
8583, 84pm2.65da 580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  -.  X  e.  y
)  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
8685adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )
87 elunnel2 37360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( {
(/) ,  { (/) } }  u.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  /\  -.  y  e.  { { X } ,  { (/) ,  X } } )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
8861, 86, 87syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
89 unieq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  U. (/) )
90 uni0 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
9289, 91eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  U. y  =  (/) )
9392adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
94 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  e.  { (/) ,  { (/) } } )
9527adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =/=  (/) )
96 elprn1 37713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  y  =/=  (/) )  ->  y  =  { (/) } )
9794, 95, 96syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  -> 
y  =  { (/) } )
98 unieq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  U. { (/)
} )
991unisn 4213 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. { (/)
}  =  (/)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. { (/) }  =  (/) )
10198, 100eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  { (/) }  ->  U. y  =  (/) )
10297, 101syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  { (/) ,  { (/) } }  /\  -.  y  =  (/) )  ->  U. y  =  (/) )
10393, 102pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) ,  { (/)
} }  ->  U. y  =  (/) )
10488, 103syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  =  (/) )
1052a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  (/)  e.  { (/)
,  X } )
106104, 105eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X }
)  /\  -.  X  e.  y )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
)
10756, 106pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } )
108107a1d 26 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  y  e.  ~P { (/) ,  X } )  -> 
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X } ) )
109108ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om 
->  U. y  e.  { (/)
,  X } ) )
1103, 42, 1093jca 1188 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) )
111 prex 4642 . . . 4  |-  { (/) ,  X }  e.  _V
112111a1i 11 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e.  _V )
113 issal 38175 . . 3  |-  ( {
(/) ,  X }  e.  _V  ->  ( { (/)
,  X }  e. SAlg  <->  ( (/) 
e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e. 
{ (/) ,  X } 
( U. { (/) ,  X }  \  y
)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/) ,  X }  ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
114112, 113syl 17 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( { (/) ,  X }  e. SAlg  <-> 
( (/)  e.  { (/) ,  X }  /\  A. y  e.  { (/) ,  X }  ( U. { (/)
,  X }  \ 
y )  e.  { (/)
,  X }  /\  A. y  e.  ~P  { (/)
,  X }  (
y  ~<_  om  ->  U. y  e.  { (/) ,  X }
) ) ) )
115110, 114mpbird 236 1  |-  ( X  e.  V  ->  { (/) ,  X }  e. SAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   omcom 6692    ~<_ cdom 7567  SAlgcsalg 38169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-uni 4199  df-salg 38170
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