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Theorem proththd 38914
 Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 14850), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n
proththd.k
proththd.p
proththd.l
proththd.x
Assertion
Ref Expression
proththd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem proththd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 10767 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 proththd.n . . . 4
43nnnn0d 10925 . . 3
52, 4nnexpcld 12437 . 2
6 proththd.k . 2
7 proththd.l . 2
8 proththd.p . . 3
96nncnd 10625 . . . . 5
105nncnd 10625 . . . . 5
119, 10mulcomd 9664 . . . 4
1211oveq1d 6305 . . 3
138, 12eqtrd 2485 . 2
14 simpr 463 . . . . 5
15 2prm 14640 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5
173adantr 467 . . . . 5
18 prmdvdsexpb 14668 . . . . 5
1914, 16, 17, 18syl3anc 1268 . . . 4
20 proththd.x . . . . . 6
213, 6, 8proththdlem 38913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2221simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2322nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24 peano2cnm 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3026, 27, 29divcan1d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3721simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4034, 36, 39expmuld 12419 . . . . . . . . . . . . . . 15
4132, 40eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14
4241adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
4443oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
4538adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . 14
48 zexpcl 12287 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
5122nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . 13
5251ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12
5321simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . 13
5453ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . 12
55 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
5650, 52, 54, 55modexp2m1d 38912 . . . . . . . . . . 11
5744, 56eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10
58 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6145, 60mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6261anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 zexpcl 12287 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665zred 11040 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
68 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . 14
6968renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13
70 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
7776biimpa 487 . . . . . . . . . . . . 13
78 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13
7967, 69, 68, 68, 52, 77, 78modsub12d 12147 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
81 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . . . 14
8265, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8322ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13
84 modgcd 14500 . . . . . . . . . . . . 13
8582, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
8685adantr 467 . . . . . . . . . . 11
87 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 negdi2 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9087, 87, 89mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 1p1e2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9291negeqi 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9390, 92eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14
9695oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13
97 nnnegz 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16
982, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 modgcd 14500 . . . . . . . . . . . . . . 15
10098, 22, 99syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
101 2z 10969 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10222nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 neggcd 14491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104101, 102, 103sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15
10537nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106 isodd2 38765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Odd
107102, 105, 106sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Odd
108 isodd7 38795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Odd
109107, 108sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
111104, 110eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14
112100, 111eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13
11396, 112eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12
114113ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11
11580, 86, 1143eqtr3d 2493 . . . . . . . . . 10
11657, 115jca 535 . . . . . . . . 9
117116ex 436 . . . . . . . 8
118117reximdva 2862 . . . . . . 7
119118ex 436 . . . . . 6
12020, 119mpid 42 . . . . 5
121120adantr 467 . . . 4
12219, 121sylbid 219 . . 3
123122ralrimiva 2802 . 2
1245, 6, 7, 13, 123pockthg 14850 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wrex 2738   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cn0 10869  cz 10937  crp 11302   cmo 12096  cexp 12272   cdvds 14305   cgcd 14468  cprime 14622   Odd codd 38754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-odz 14712  df-phi 14714  df-pc 14787  df-odd 38756 This theorem is referenced by:  41prothprm  38919
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