Theorem proot1mul 36067

Description: Any primitive N-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s (Unit ` R ) )
proot1mul.o	|- O = ( od ` G )
proot1mul.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	|- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { Y } ) )

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 759	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> R e. IDomn )
2		isidom 18521	. . . . . . 7 |- ( R e. IDomn <-> ( R e. CRing /\ R e. Domn ) )
3	2	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( R e. IDomn -> R e. Domn )
4		domnring 18513	. . . . . 6 |- ( R e. Domn -> R e. Ring )
5		eqid 2450	. . . . . . 7 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s (Unit ` R ) )
7	5, 6	unitgrp 17888	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
8	1, 3, 4, 7	4syl 19	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> G e. Grp )
9		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
10	9	subgacs 16845	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
11		acsmre 15551	. . . . 5 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
13		proot1mul.k	. . . 4 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
14		simprl 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( `' O " { N } ) )
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
16	9, 15	odf 17179	. . . . . . . 8 |- O : ( Base ` G ) --> NN0
17		ffn 5726	. . . . . . . 8 |- ( O : ( Base ` G ) --> NN0 -> O Fn ( Base ` G ) )
18		fniniseg 6001	. . . . . . . 8 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( X e. ( `' O " { N } ) <-> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) ) )
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( X e. ( `' O " { N } ) <-> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) )
20	14, 19	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) )
21	20	simpld 461	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( Base ` G ) )
22	21	snssd 4116	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { X } C_ ( Base ` G ) )
23	12, 13, 22	mrcssidd 15524	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { X } C_ ( K ` { X } ) )
24		snssg 4104	. . . 4 |- ( X e. ( `' O " { N } ) -> ( X e. ( K ` { X } ) <-> { X } C_ ( K ` { X } ) ) )
25	14, 24	syl 17	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( X e. ( K ` { X } ) <-> { X } C_ ( K ` { X } ) ) )
26	23, 25	mpbird 236	. 2 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { X } ) )
27	6	idomsubgmo 36066	. . . 4 |- ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) -> E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N )
28	27	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N )
29	13	mrccl 15510	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ { X } C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) )
30	12, 22, 29	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) )
31	20	simprd 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` X ) = N )
32		simplr 761	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> N e. NN )
33	31, 32	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` X ) e. NN )
34	9, 15, 13	odhash2 17217	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) e. NN ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = ( O ` X ) )
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = ( O ` X ) )
36	35, 31	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = N )
37		simprr 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> Y e. ( `' O " { N } ) )
38		fniniseg 6001	. . . . . . . 8 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( Y e. ( `' O " { N } ) <-> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) ) )
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( `' O " { N } ) <-> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) )
40	37, 39	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) )
41	40	simpld 461	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> Y e. ( Base ` G ) )
42	41	snssd 4116	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { Y } C_ ( Base ` G ) )
43	13	mrccl 15510	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ { Y } C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) )
44	12, 42, 43	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) )
45	40	simprd 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` Y ) = N )
46	45, 32	eqeltrd 2528	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` Y ) e. NN )
47	9, 15, 13	odhash2 17217	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) e. NN ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = ( O ` Y ) )
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = ( O ` Y ) )
49	48, 45	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N )
50		fveq2 5863	. . . . 5 |- ( x = ( K ` { X } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( K ` { X } ) ) )
51	50	eqeq1d 2452	. . . 4 |- ( x = ( K ` { X } ) -> ( ( # ` x ) = N <-> ( # ` ( K ` { X } ) ) = N ) )
52		fveq2 5863	. . . . 5 |- ( x = ( K ` { Y } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( K ` { Y } ) ) )
53	52	eqeq1d 2452	. . . 4 |- ( x = ( K ` { Y } ) -> ( ( # ` x ) = N <-> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N ) )
54	51, 53	rmoi 3359	. . 3 |- ( ( E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N /\ ( ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ( K ` { X } ) ) = N ) /\ ( ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N ) ) -> ( K ` { X } ) = ( K ` { Y } ) )
55	28, 30, 36, 44, 49, 54	syl122anc 1276	. 2 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { X } ) = ( K ` { Y } ) )
56	26, 55	eleqtrd 2530	1 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { Y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   E*wrmo 2739   C_ wss 3403   {csn 3967   `'ccnv 4832   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   NNcn 10606   NN0cn0 10866   #chash 12512   Basecbs 15114   ↾_s cress 15115  Moorecmre 15481  mrClscmrc 15482  ACScacs 15484   Grpcgrp 16662  SubGrpcsubg 16804   odcod 17158  mulGrpcmgp 17716   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774  Unitcui 17860  Domncdomn 18497  IDomncidom 18498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-od 17165  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-srg 17733  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-rnghom 17936  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-nzr 18475  df-rlreg 18500  df-domn 18501  df-idom 18502  df-assa 18529  df-asp 18530  df-ascl 18531  df-psr 18573  df-mvr 18574  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-evls 18722  df-evl 18723  df-psr1 18766  df-vr1 18767  df-ply1 18768  df-coe1 18769  df-evl1 18898  df-cnfld 18964  df-mdeg 22997  df-deg1 22998  df-mon1 23073  df-uc1p 23074  df-q1p 23075  df-r1p 23076

This theorem is referenced by:  proot1hash  36071