Theorem proot1mul 30752

Description: Any primitive N-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	|- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s (Unit ` R ) )
proot1mul.o	|- O = ( od ` G )
proot1mul.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	|- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { Y } ) )

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> R e. IDomn )
2		isidom 17719	. . . . . . 7 |- ( R e. IDomn <-> ( R e. CRing /\ R e. Domn ) )
3	2	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( R e. IDomn -> R e. Domn )
4		domnrng 17711	. . . . . 6 |- ( R e. Domn -> R e. Ring )
5		eqid 2462	. . . . . . 7 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 |- G = ( (mulGrp ` R ) ↾s (Unit ` R ) )
7	5, 6	unitgrp 17095	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> G e. Grp )
8	1, 3, 4, 7	4syl 21	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> G e. Grp )
9		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
10	9	subgacs 16026	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
11		acsmre 14898	. . . . 5 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
12	8, 10, 11	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
13		proot1mul.k	. . . 4 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
14		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( `' O " { N } ) )
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( od ` G )
16	9, 15	odf 16352	. . . . . . . 8 |- O : ( Base ` G ) --> NN0
17		ffn 5724	. . . . . . . 8 |- ( O : ( Base ` G ) --> NN0 -> O Fn ( Base ` G ) )
18		fniniseg 5995	. . . . . . . 8 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( X e. ( `' O " { N } ) <-> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) ) )
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( X e. ( `' O " { N } ) <-> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) )
20	14, 19	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) = N ) )
21	20	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( Base ` G ) )
22	21	snssd 4167	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { X } C_ ( Base ` G ) )
23	12, 13, 22	mrcssidd 14871	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { X } C_ ( K ` { X } ) )
24		snssg 4155	. . . 4 |- ( X e. ( `' O " { N } ) -> ( X e. ( K ` { X } ) <-> { X } C_ ( K ` { X } ) ) )
25	14, 24	syl 16	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( X e. ( K ` { X } ) <-> { X } C_ ( K ` { X } ) ) )
26	23, 25	mpbird 232	. 2 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { X } ) )
27	6	idomsubgmo 30751	. . . 4 |- ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) -> E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N )
28	27	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N )
29	13	mrccl 14857	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ { X } C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) )
30	12, 22, 29	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) )
31	20	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` X ) = N )
32		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> N e. NN )
33	31, 32	eqeltrd 2550	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` X ) e. NN )
34	9, 15, 13	odhash2 16386	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. ( Base ` G ) /\ ( O ` X ) e. NN ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = ( O ` X ) )
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = ( O ` X ) )
36	35, 31	eqtrd 2503	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { X } ) ) = N )
37		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> Y e. ( `' O " { N } ) )
38		fniniseg 5995	. . . . . . . 8 |- ( O Fn ( Base ` G ) -> ( Y e. ( `' O " { N } ) <-> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) ) )
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( `' O " { N } ) <-> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) )
40	37, 39	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) = N ) )
41	40	simpld 459	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> Y e. ( Base ` G ) )
42	41	snssd 4167	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> { Y } C_ ( Base ` G ) )
43	13	mrccl 14857	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ { Y } C_ ( Base ` G ) ) -> ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) )
44	12, 42, 43	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) )
45	40	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` Y ) = N )
46	45, 32	eqeltrd 2550	. . . . 5 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( O ` Y ) e. NN )
47	9, 15, 13	odhash2 16386	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. ( Base ` G ) /\ ( O ` Y ) e. NN ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = ( O ` Y ) )
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = ( O ` Y ) )
49	48, 45	eqtrd 2503	. . 3 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N )
50		fveq2 5859	. . . . 5 |- ( x = ( K ` { X } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( K ` { X } ) ) )
51	50	eqeq1d 2464	. . . 4 |- ( x = ( K ` { X } ) -> ( ( # ` x ) = N <-> ( # ` ( K ` { X } ) ) = N ) )
52		fveq2 5859	. . . . 5 |- ( x = ( K ` { Y } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( K ` { Y } ) ) )
53	52	eqeq1d 2464	. . . 4 |- ( x = ( K ` { Y } ) -> ( ( # ` x ) = N <-> ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N ) )
54	51, 53	rmoi 3427	. . 3 |- ( ( E* x e. (SubGrp ` G ) ( # ` x ) = N /\ ( ( K ` { X } ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ( K ` { X } ) ) = N ) /\ ( ( K ` { Y } ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ( K ` { Y } ) ) = N ) ) -> ( K ` { X } ) = ( K ` { Y } ) )
55	28, 30, 36, 44, 49, 54	syl122anc 1232	. 2 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> ( K ` { X } ) = ( K ` { Y } ) )
56	26, 55	eleqtrd 2552	1 |- ( ( ( R e. IDomn /\ N e. NN ) /\ ( X e. ( `' O " { N } ) /\ Y e. ( `' O " { N } ) ) ) -> X e. ( K ` { Y } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   E*wrmo 2812   C_ wss 3471   {csn 4022   `'ccnv 4993   "cima 4997   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   NNcn 10527   NN0cn0 10786   #chash 12362   Basecbs 14481   ↾_s cress 14482  Moorecmre 14828  mrClscmrc 14829  ACScacs 14831   Grpcgrp 15718  SubGrpcsubg 15985   odcod 16340  mulGrpcmgp 16926   Ringcrg 16981   CRingccrg 16982  Unitcui 17067  Domncdomn 17694  IDomncidom 17695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-dvds 13839  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-eqg 15990  df-ghm 16055  df-cntz 16145  df-od 16344  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-srg 16943  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-rnghom 17143  df-subrg 17205  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-nzr 17683  df-rlreg 17697  df-domn 17698  df-idom 17699  df-assa 17727  df-asp 17728  df-ascl 17729  df-psr 17771  df-mvr 17772  df-mpl 17773  df-opsr 17775  df-evls 17937  df-evl 17938  df-psr1 17985  df-vr1 17986  df-ply1 17987  df-coe1 17988  df-evl1 18119  df-cnfld 18187  df-mdeg 22183  df-deg1 22184  df-mon1 22261  df-uc1p 22262  df-q1p 22263  df-r1p 22264

This theorem is referenced by:  proot1hash  30756