Theorem projlem29 10847

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101: 'Hence, {yn} is a Cauchy sequence.' Used by projlem30 10848.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem27.1	|- A e. ~H
projlem27.2	|- H e. CH
projlem27.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem27.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem27.5	|- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (normh` ((F` w) -h A)) /\ (normh` ((F` w) -h A)) < (R + (1 / w)))))

Assertion

Ref	Expression
projlem29	|- (ph -> F e. Cauchy)

Distinct variable groups:   v,u,w,A   u,H,v   w,F   w,R

Proof of Theorem projlem29

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hcau 10684	. 2 |- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->~H /\ A.g e. RR (0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g))))
2		projlem27.5	. . . . 5 |- (ph <-> (F:NN-->H /\ A.w e. NN ((R - (1 / w)) < (normh` ((F` w) -h A)) /\ (normh` ((F` w) -h A)) < (R + (1 / w)))))
3	2	simplbi 349	. . . 4 |- (ph -> F:NN-->H)
4		projlem27.2	. . . . 5 |- H e. CH
5	4	chssii 10734	. . . 4 |- H C_ ~H
6	3, 5	jctir 317	. . 3 |- (ph -> (F:NN-->H /\ H C_ ~H))
7		fss 4571	. . 3 |- ((F:NN-->H /\ H C_ ~H) -> F:NN-->~H)
8	6, 7	syl 12	. 2 |- (ph -> F:NN-->~H)
9		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> (0 < g <-> 0 < if(g e. RR, g, 1)))
10		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> ((normh` ((F` x) -h (F` y))) < g <-> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1)))
11	10	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> (((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g) <-> ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1))))
12	11	2ralbidv 2140	. . . . . . . 8 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> (A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g) <-> A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1))))
13	12	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> (E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g) <-> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1))))
14	9, 13	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> ((0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g)) <-> (0 < if(g e. RR, g, 1) -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1)))))
15	14	imbi2d 674	. . . . 5 |- (g = if(g e. RR, g, 1) -> ((ph -> (0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g))) <-> (ph -> (0 < if(g e. RR, g, 1) -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1))))))
16		projlem27.1	. . . . . 6 |- A e. ~H
17		projlem27.3	. . . . . 6 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
18		projlem27.4	. . . . . 6 |- R = -usup(S, RR, < )
19		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
20	19	elimel 3025	. . . . . 6 |- if(g e. RR, g, 1) e. RR
21	16, 4, 17, 18, 2, 20	projlem28 10846	. . . . 5 |- (ph -> (0 < if(g e. RR, g, 1) -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < if(g e. RR, g, 1))))
22	15, 21	dedth 3011	. . . 4 |- (g e. RR -> (ph -> (0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g))))
23	22	com12 14	. . 3 |- (ph -> (g e. RR -> (0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g))))
24	23	r19.21aiv 2175	. 2 |- (ph -> A.g e. RR (0 < g -> E.z e. NN A.x e. NN A.y e. NN ((z <_ x /\ z <_ y) -> (normh` ((F` x) -h (F` y))) < g)))
25	1, 8, 24	sylanbrc 527	1 |- (ph -> F e. Cauchy)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  ifcif 2982   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  ~Hchil 10420   -h cmv 10424  normhcno 10426  Cauchyccau 10427  CHcch 10430

This theorem is referenced by:  projlem30 10848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain