Theorem projlem2 10820

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. We need the square root for the norm limit. Used by projlem28 10846.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem1.1	|- R e. RR
projlem1.2	|- D e. RR
projlem2.3	|- 0 <_ R

Assertion

Ref	Expression
projlem2	|- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Distinct variable groups:   z,R   z,D

Proof of Theorem projlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem1.1	. . 3 |- R e. RR
2		projlem1.2	. . 3 |- D e. RR
3	1, 2	projlem1 10819	. 2 |- (0 < D -> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2))
4		lt2sq 7875	. . . . . 6 |- ((((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))) /\ (D e. RR /\ 0 <_ D)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
5		nnre 7112	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> z e. RR)
6		4re 7166	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
7		2re 7163	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
8	7, 1	remulcli 6488	. . . . . . . . . . . 12 |- (2 x. R) e. RR
9		1re 6598	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
10	8, 9	readdcli 6487	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. R) + 1) e. RR
11	6, 10	remulcli 6488	. . . . . . . . . 10 |- (4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR
12	5, 11	jctil 316	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR))
13		nnne0 7132	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> z =/= 0)
14		redivcl 6978	. . . . . . . . . 10 |- (((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
15	14	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ z e. RR) /\ z =/= 0) -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
16	12, 13, 15	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR)
17		nngt0 7129	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> 0 < z)
18		0re 6603	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
19		4pos 7176	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 4
20		2pos 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
21	18, 7, 20	ltleii 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
22		projlem2.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ R
23	7, 1	mulge0i 6787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
24	21, 22, 23	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ (2 x. R)
25		lt01 6871	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
26	8, 9	addgegt0i 6779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 < 1) -> 0 < ((2 x. R) + 1))
27	24, 25, 26	mp2an 761	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ((2 x. R) + 1)
28	6, 10, 19, 27	mulgt0ii 6788	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < (4 x. ((2 x. R) + 1))
29	18, 11, 28	ltleii 6756	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))
30		divge0 7038	. . . . . . . . . 10 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) e. RR /\ 0 <_ (4 x. ((2 x. R) + 1))) /\ (z e. RR /\ 0 < z)) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
31	11, 29, 30	mpanl12 773	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ 0 < z) -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
32	5, 17, 31	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
33		sqrcl 7960	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
34	16, 32, 33	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR)
35		sqrge0 7962	. . . . . . . 8 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
36	16, 32, 35	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)))
37	34, 36	jca 310	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) e. RR /\ 0 <_ (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))))
38	18, 2	ltlei 6755	. . . . . . 7 |- (0 < D -> 0 <_ D)
39	38, 2	jctil 316	. . . . . 6 |- (0 < D -> (D e. RR /\ 0 <_ D))
40	4, 37, 39	syl2an 503	. . . . 5 |- ((z e. NN /\ 0 < D) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
41	40	ancoms 484	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2)))
42		sqsqr 7973	. . . . . . 7 |- ((((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) e. RR /\ 0 <_ ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
43	16, 32, 42	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) = ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))
44	43	breq1d 3348	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
45	44	adantl 424	. . . 4 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> (((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z))^2) < (D^2) <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
46	41, 45	bitrd 587	. . 3 |- ((0 < D /\ z e. NN) -> ((sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
47	46	rexbidva 2120	. 2 |- (0 < D -> (E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D <-> E.z e. NN ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z) < (D^2)))
48	3, 47	mpbird 213	1 |- (0 < D -> E.z e. NN (sqr` ((4 x. ((2 x. R) + 1)) / z)) < D)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  4c4 7147  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919

This theorem is referenced by:  projlem28 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920

Copyright terms: Public domain