Theorem projlem18 10836

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem19 10837.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem11.1	|- A e. ~H
projlem11.2	|- H e. CH
projlem11.3	|- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
projlem11.4	|- R = -usup(S, RR, < )
projlem18.5	|- B e. H
projlem18.6	|- C e. H

Assertion

Ref	Expression
projlem18	|- (4 x. (R^2)) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)

Distinct variable groups:   v,u,A   u,H,v

Proof of Theorem projlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 7164	. . . 4 |- 2 e. CC
2		projlem11.1	. . . . . 6 |- A e. ~H
3		projlem11.2	. . . . . 6 |- H e. CH
4		projlem11.3	. . . . . 6 |- S = {u e. RR | E.v e. H u = -u(normh` (v -h A))}
5		projlem11.4	. . . . . 6 |- R = -usup(S, RR, < )
6	2, 3, 4, 5	projlem11 10829	. . . . 5 |- R e. RR
7	6	recni 6467	. . . 4 |- R e. CC
8	1, 7	sqmuli 7862	. . 3 |- ((2 x. R)^2) = ((2^2) x. (R^2))
9		sq2 7883	. . . 4 |- (2^2) = 4
10	9	opreq1i 4892	. . 3 |- ((2^2) x. (R^2)) = (4 x. (R^2))
11	8, 10	eqtr2i 1909	. 2 |- (4 x. (R^2)) = ((2 x. R)^2)
12		2ne0 7174	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
13	1, 12	reccli 6902	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
14		projlem18.5	. . . . . . . 8 |- B e. H
15		projlem18.6	. . . . . . . 8 |- C e. H
16	3	chshii 10730	. . . . . . . . 9 |- H e. SH
17		shaddclOLD 10719	. . . . . . . . 9 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ C e. H) -> (B +h C) e. H))
18	16, 17	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((B e. H /\ C e. H) -> (B +h C) e. H)
19	14, 15, 18	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (B +h C) e. H
20		shmulclOLD 10721	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> (((1 / 2) e. CC /\ (B +h C) e. H) -> ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H))
21	16, 20	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((1 / 2) e. CC /\ (B +h C) e. H) -> ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H)
22	13, 19, 21	mp2an 761	. . . . . 6 |- ((1 / 2) .h (B +h C)) e. H
23	2, 3, 4, 5	projlem12 10830	. . . . . 6 |- (((1 / 2) .h (B +h C)) e. H -> R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . 5 |- R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))
25		2pos 7173	. . . . . 6 |- 0 < 2
26	3, 14	chelii 10736	. . . . . . . . . . 11 |- B e. ~H
27	3, 15	chelii 10736	. . . . . . . . . . 11 |- C e. ~H
28	26, 27	hvaddcli 10520	. . . . . . . . . 10 |- (B +h C) e. ~H
29	13, 28	hvmulcli 10516	. . . . . . . . 9 |- ((1 / 2) .h (B +h C)) e. ~H
30	29, 2	hvsubcli 10523	. . . . . . . 8 |- (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A) e. ~H
31	30	normcli 10631	. . . . . . 7 |- (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) e. RR
32		2re 7163	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
33	6, 31, 32	lemul2i 7018	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> (R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) <-> (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))))
34	25, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (R <_ (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) <-> (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))))
35	24, 34	mpbi 206	. . . 4 |- (2 x. R) <_ (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
36	1, 30	norm-iii.i 10639	. . . . 5 |- (normh` (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = ((abs` 2) x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
37	1, 29, 2	hvsubdistr1i 10551	. . . . . . 7 |- (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) = ((2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) -h (2 .h A))
38	1, 12	recidi 6916	. . . . . . . . . 10 |- (2 x. (1 / 2)) = 1
39	38	opreq1i 4892	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (1 / 2)) .h (B +h C)) = (1 .h (B +h C))
40	1, 13, 28	hvmulassi 10545	. . . . . . . . 9 |- ((2 x. (1 / 2)) .h (B +h C)) = (2 .h ((1 / 2) .h (B +h C)))
41		ax-hvmulid 10508	. . . . . . . . . 10 |- ((B +h C) e. ~H -> (1 .h (B +h C)) = (B +h C))
42	28, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (1 .h (B +h C)) = (B +h C)
43	39, 40, 42	3eqtr3i 1918	. . . . . . . 8 |- (2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) = (B +h C)
44	43	opreq1i 4892	. . . . . . 7 |- ((2 .h ((1 / 2) .h (B +h C))) -h (2 .h A)) = ((B +h C) -h (2 .h A))
45	37, 44	eqtri 1908	. . . . . 6 |- (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)) = ((B +h C) -h (2 .h A))
46	45	fveq2i 4684	. . . . 5 |- (normh` (2 .h (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
47		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
48	47, 32, 25	ltleii 6756	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
49	32	absidi 8112	. . . . . . 7 |- (0 <_ 2 -> (abs` 2) = 2)
50	48, 49	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (abs` 2) = 2
51	50	opreq1i 4892	. . . . 5 |- ((abs` 2) x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A)))
52	36, 46, 51	3eqtr3ri 1920	. . . 4 |- (2 x. (normh` (((1 / 2) .h (B +h C)) -h A))) = (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
53	35, 52	breqtri 3360	. . 3 |- (2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
54	2, 3, 4, 5	projlem13 10831	. . . . 5 |- 0 <_ R
55	32, 6	mulge0i 6787	. . . . 5 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ R) -> 0 <_ (2 x. R))
56	48, 54, 55	mp2an 761	. . . 4 |- 0 <_ (2 x. R)
57	1, 2	hvmulcli 10516	. . . . . 6 |- (2 .h A) e. ~H
58	28, 57	hvsubcli 10523	. . . . 5 |- ((B +h C) -h (2 .h A)) e. ~H
59		normge0 10625	. . . . 5 |- (((B +h C) -h (2 .h A)) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))))
60	58, 59	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))
61	32, 6	remulcli 6488	. . . . 5 |- (2 x. R) e. RR
62	58	normcli 10631	. . . . 5 |- (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) e. RR
63	61, 62	le2sqi 7870	. . . 4 |- ((0 <_ (2 x. R) /\ 0 <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))) -> ((2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) <-> ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)))
64	56, 60, 63	mp2an 761	. . 3 |- ((2 x. R) <_ (normh` ((B +h C) -h (2 .h A))) <-> ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2))
65	53, 64	mpbi 206	. 2 |- ((2 x. R)^2) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)
66	11, 65	eqbrtri 3356	1 |- (4 x. (R^2)) <_ ((normh` ((B +h C) -h (2 .h A)))^2)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  4c4 7147  ^cexp 7811  abscabs 8000  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  normhcno 10426  SHcsh 10429  CHcch 10430

This theorem is referenced by:  projlem19 10837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain