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Theorem prodss 29047
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
prodss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
prodss.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
prodss.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
prodss.5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
prodss  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, k, n, y    C, n, y    k, n, ph, y    n, M, y    ph, n, y    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 prodss.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
5 prodss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 prodss.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
75, 6sstrd 3496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 iftrue 3928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
15 eldif 3468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
17 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
1816, 17syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1915, 18sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
2019expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2114, 20pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2221ralrimiva 2855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
23 nfcsb1v 3433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
2423nfel1 2619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
25 csbeq1a 3426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
2625eleq1d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
2724, 26rspc 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
2822, 27mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
2911, 28eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
30 iffalse 3931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
3130, 17syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3329, 32pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
36 nfcv 2603 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
m
37 nfv 1692 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  B
38 nfcv 2603 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
1
3937, 23, 38nfif 3951 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )
40 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
4140, 25ifbieq1d 3945 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
42 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )
4336, 39, 41, 42fvmptf 5953 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
449, 35, 43syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
45 iftrue 3928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
485adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
4948sselda 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
5028adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
5149, 50syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
5352fvmpts 5939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5447, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5546, 54eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5655ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
58 iffalse 3931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
61 eldif 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  <->  ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A ) )
6216ralrimiva 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1 )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  1 )
6423nfeq1 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  1
6525eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  1  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  1 ) )
6664, 65rspc 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 ) )
6763, 66mpan9 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( B  \  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6861, 67sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6960, 68eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7069expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  = 
[_ m  /  k ]_ C ) )
7157, 70pm2.61d 158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7210adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
7371, 72eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7448ssneld 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  m  e.  B  ->  -.  m  e.  A
) )
7574imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  -.  m  e.  A
)
7675, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
7730adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
7876, 77eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7973, 78pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8079adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8144, 80eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
8212, 52fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8382adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8483ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 29037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
866adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
8743ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8834, 87sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
89 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
90 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
9190fvmpts 5939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9289, 50, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9392ifeq1d 3940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9493adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  B
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
95 iffalse 3931 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
9695, 30eqtr4d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9796adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9894, 97pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9988, 98eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
10021, 90fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
101100adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 29037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
10485, 103eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 prodfc 29045 . . 3  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
106 prodfc 29045 . . 3  |-  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  B  C
107104, 105, 1063eqtr3g 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C
)
1085adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
1096adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
110 uzf 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
111110fdmi 5722 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
112111eleq2i 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
113 ndmfv 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
114112, 113sylnbir 307 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
115114adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  (/) )
116109, 115sseqtrd 3522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
117108, 116sstrd 3496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
118 ss0 3798 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
119117, 118syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
120 ss0 3798 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
121116, 120syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
122119, 121eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
123122prodeq1d 29021 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
124107, 123pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   [_csb 3417    \ cdif 3455    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ifcif 3922   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   dom cdm 4985   -->wf 5570   ` cfv 5574   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085    seqcseq 12081    ~~> cli 13281   prod_cprod 29005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-prod 29006
This theorem is referenced by:  fprodss  29048
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