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Theorem prodss 13944
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
prodss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
prodss.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
prodss.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
prodss.5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
prodss  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, k, n, y    C, n, y    k, n, ph, y    n, M, y    ph, n, y    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 prodss.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
43adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
5 prodss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 prodss.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
75, 6sstrd 3417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
87adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
9 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 iftrue 3860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
1110adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1312ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
1413adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
15 eldif 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
17 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
1816, 17syl6eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1915, 18sylan2br 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
2019expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2114, 20pm2.61d 161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2221ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
23 nfcsb1v 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
2423nfel1 2583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
25 csbeq1a 3347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
2625eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
2724, 26rspc 3119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
2822, 27mpan9 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
2911, 28eqeltrd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
30 iffalse 3863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
3130, 17syl6eqel 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3231adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3329, 32pm2.61dan 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3433adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3534adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
36 nfcv 2569 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
m
37 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  B
38 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
1
3937, 23, 38nfif 3883 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )
40 eleq1 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
4140, 25ifbieq1d 3877 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
42 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )
4336, 39, 41, 42fvmptf 5926 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
449, 35, 43syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
45 iftrue 3860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
4645adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
47 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
485adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
4948sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
5028adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
5149, 50syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
52 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
5352fvmpts 5911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5447, 51, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5546, 54eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5655ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
5756adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
58 iffalse 3863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
6059adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
61 eldif 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  <->  ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A ) )
6216ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1 )
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  1 )
6423nfeq1 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  1
6525eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  1  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  1 ) )
6664, 65rspc 3119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 ) )
6763, 66mpan9 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( B  \  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6861, 67sylan2br 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6960, 68eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7069expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  = 
[_ m  /  k ]_ C ) )
7157, 70pm2.61d 161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7210adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
7371, 72eqtr4d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7448ssneld 3409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  m  e.  B  ->  -.  m  e.  A
) )
7574imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  -.  m  e.  A
)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
7730adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
7876, 77eqtr4d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7973, 78pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8079adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8144, 80eqtr4d 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
8212, 52fmptd 6005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8382adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8483ffvelrnda 5981 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 13934 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
866adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
8743ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8834, 87sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
89 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
90 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
9190fvmpts 5911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9289, 50, 91syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9392ifeq1d 3872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9493adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  B
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
95 iffalse 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
9695, 30eqtr4d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9796adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9894, 97pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9988, 98eqtr4d 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
10021, 90fmptd 6005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
101100adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101ffvelrnda 5981 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 13934 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
10485, 103eqtr4d 2465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 prodfc 13942 . . 3  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
106 prodfc 13942 . . 3  |-  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  B  C
107104, 105, 1063eqtr3g 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C
)
1085adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
1096adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
110 uzf 11113 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
111110fdmi 5694 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
112111eleq2i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
113 ndmfv 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
114112, 113sylnbir 308 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
115114adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  (/) )
116109, 115sseqtrd 3443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
117108, 116sstrd 3417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
118 ss0 3738 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
119117, 118syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
120 ss0 3738 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
121116, 120syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
122119, 121eqtr4d 2465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
123122prodeq1d 13918 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
124107, 123pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   [_csb 3338    \ cdif 3376    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854   ~Pcpw 3924   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   -->wf 5540   ` cfv 5544   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110    seqcseq 12163    ~~> cli 13491   prod_cprod 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-prod 13903
This theorem is referenced by:  fprodss  13945
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