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Theorem prodss 28644
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
prodss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
prodss.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
prodss.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
prodss.5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
prodss  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, k, n, y    C, n, y    k, n, ph, y    n, M, y    ph, n, y    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 prodss.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
5 prodss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 prodss.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
75, 6sstrd 3509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
9 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 iftrue 3940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
15 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
17 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
1816, 17syl6eqel 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1915, 18sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
2019expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2114, 20pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2221ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
23 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
2423nfel1 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
25 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
2625eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
2724, 26rspc 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
2822, 27mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
2911, 28eqeltrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
30 iffalse 3943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
3130, 17syl6eqel 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3329, 32pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
36 nfcv 2624 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
m
37 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  B
38 nfcv 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
1
3937, 23, 38nfif 3963 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )
40 eleq1 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
41 eqidd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  1  =  1 )
4240, 25, 41ifbieq12d 3961 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
43 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )
4436, 39, 42, 43fvmptf 5959 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
459, 35, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
46 iftrue 3940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
495adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
5049sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
5128adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
5250, 51syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
53 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
5453fvmpts 5945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5548, 52, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5647, 55eqtrd 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5756ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
59 iffalse 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
62 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  <->  ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A ) )
6316ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1 )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  1 )
6523nfeq1 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  1
6625eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  1  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  1 ) )
6765, 66rspc 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 ) )
6864, 67mpan9 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( B  \  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6962, 68sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
7061, 69eqtr4d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7170expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  = 
[_ m  /  k ]_ C ) )
7258, 71pm2.61d 158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7310adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
7472, 73eqtr4d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7549ssneld 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  m  e.  B  ->  -.  m  e.  A
) )
7675imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  -.  m  e.  A
)
7776, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
7830adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
7977, 78eqtr4d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8074, 79pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8180adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8245, 81eqtr4d 2506 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
8312, 53fmptd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8483adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8584ffvelrnda 6014 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
861, 2, 4, 8, 82, 85zprod 28634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
876adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
8844ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8934, 88sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
90 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
91 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
9291fvmpts 5945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9390, 51, 92syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9493ifeq1d 3952 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9594adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  B
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
96 iffalse 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
9796, 30eqtr4d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9897adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9995, 98pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
10089, 99eqtr4d 2506 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
10121, 91fmptd 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
103102ffvelrnda 6014 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1041, 2, 4, 87, 100, 103zprod 28634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
10586, 104eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
106 prodfc 28642 . . 3  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
107 prodfc 28642 . . 3  |-  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  B  C
108105, 106, 1073eqtr3g 2526 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C
)
1095adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
1106adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
111 uzf 11076 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
112111fdmi 5729 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
113112eleq2i 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
114 ndmfv 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
115113, 114sylnbir 307 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
116115adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  (/) )
117110, 116sseqtrd 3535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
118109, 117sstrd 3509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
119 ss0 3811 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
120118, 119syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
121 ss0 3811 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
122117, 121syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
123120, 122eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
124123prodeq1d 28618 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
125108, 124pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   [_csb 3430    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ifcif 3934   ~Pcpw 4005   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   -->wf 5577   ` cfv 5581   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073    seqcseq 12065    ~~> cli 13258   prod_cprod 28602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-prod 28603
This theorem is referenced by:  fprodss  28645
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