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Theorem prodss 14078
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
prodss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
prodss.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
prodss.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
prodss.5  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
prodss  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, k, n, y    C, n, y    k, n, ph, y    n, M, y    ph, n, y    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 prodss.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
43adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. n  e.  ( ZZ>= `  M ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
5 prodss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 prodss.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
75, 6sstrd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
87adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
9 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
1110adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1312ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
1413adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
15 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
17 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
1816, 17syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1915, 18sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
2019expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2114, 20pm2.61d 163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2221ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
23 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
2423nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
25 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
2625eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
2724, 26rspc 3130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
2822, 27mpan9 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
2911, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
30 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
3130, 17syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3231adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3329, 32pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3433adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
3534adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )
36 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
m
37 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  B
38 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
1
3937, 23, 38nfif 3901 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )
40 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
4140, 25ifbieq1d 3895 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
42 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) )
4336, 39, 41, 42fvmptf 5981 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
449, 35, 43syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
45 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) )
47 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  A )
485adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
4948sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
5028adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
5149, 50syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
5352fvmpts 5966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  A  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5447, 51, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5546, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
5655ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
) )
58 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
61 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  <->  ( m  e.  B  /\  -.  m  e.  A ) )
6216ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1 )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( B  \  A
) C  =  1 )
6423nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  =  1
6525eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( C  =  1  <->  [_ m  / 
k ]_ C  =  1 ) )
6664, 65rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  ( A. k  e.  ( B  \  A ) C  =  1  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 ) )
6763, 66mpan9 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( B  \  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6861, 67sylan2br 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  1 )
6960, 68eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
m  e.  B  /\  -.  m  e.  A
) )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7069expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  = 
[_ m  /  k ]_ C ) )
7157, 70pm2.61d 163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
7210adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
7371, 72eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7448ssneld 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  m  e.  B  ->  -.  m  e.  A
) )
7574imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  -.  m  e.  A
)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  1 )
7730adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  =  1 )
7876, 77eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
7973, 78pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8079adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  A , 
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8144, 80eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
8212, 52fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8382adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
8483ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 14068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
866adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
8743ancoms 460 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 )  e.  CC  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
8834, 87sylan 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
89 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
90 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
9190fvmpts 5966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  B  /\  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9289, 50, 91syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  [_ m  /  k ]_ C
)
9392ifeq1d 3890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9493adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  B
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
95 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  1 )
9695, 30eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( -.  m  e.  B  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9796adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  -.  m  e.  B )  ->  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9894, 97pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
m  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) ,  1 )  =  if ( m  e.  B ,  [_ m  /  k ]_ C ,  1 ) )
9988, 98eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  1 ) )
10021, 90fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
101100adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
102101ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 14068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) ) )
10485, 103eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 prodfc 14076 . . 3  |-  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  A  C
106 prodfc 14076 . . 3  |-  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  prod_ k  e.  B  C
107104, 105, 1063eqtr3g 2528 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C
)
1085adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
1096adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
110 uzf 11185 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
111110fdmi 5746 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
112111eleq2i 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
113 ndmfv 5903 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
114112, 113sylnbir 314 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
115114adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  (/) )
116109, 115sseqtrd 3454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
117108, 116sstrd 3428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
118 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
119117, 118syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
120 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
121116, 120syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
122119, 121eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
123122prodeq1d 14052 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
124107, 123pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   [_csb 3349    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182    seqcseq 12251    ~~> cli 13625   prod_cprod 14036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037
This theorem is referenced by:  fprodss  14079
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