MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodsn Structured version   Unicode version

Theorem prodsn 13959
Description: A product of a singleton is the term. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodsn.1  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
prodsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem prodsn
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2569 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3354 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3347 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvprodi 13914 . . 3  |-  prod_ k  e.  { M } A  =  prod_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3341 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10571 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 1z 10918 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 f1osng 5813 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
10 fzsn 11791 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
12 f1oeq2 5766 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
149, 13sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
158, 14mpan 674 . . . . 5  |-  ( M  e.  V  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
1615adantr 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
17 elsn 3955 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { M }  <->  m  =  M )
18 csbeq1 3341 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 nfcvd 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
20 prodsn.1 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2119, 20csbiegf 3362 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2221adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2318, 22sylan9eqr 2484 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  =  M )  ->  [_ m  / 
k ]_ A  =  B )
2417, 23sylan2b 477 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  B )
25 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2624, 25eqeltrd 2506 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2711eleq2i 2498 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  <->  n  e.  { 1 } )
28 elsn 3955 . . . . . 6  |-  ( n  e.  { 1 }  <-> 
n  =  1 )
2927, 28bitri 252 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  <->  n  = 
1 )
30 fvsng 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
318, 30mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  V  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1 )  =  M )
3231adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3332csbeq1d 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 )  / 
k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
34 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 fvsng 6057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
368, 34, 35sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3722, 33, 363eqtr4rd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  1 )  /  k ]_ A
)
38 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
39 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
4039csbeq1d 3345 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 )  / 
k ]_ A )
4138, 40eqeq12d 2443 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( { <. 1 ,  B >. } `  n
)  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  <->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1 )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 )  /  k ]_ A
) )
4237, 41syl5ibrcom 225 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( n  =  1  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A ) )
4342imp 430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  =  1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
4429, 43sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
455, 7, 16, 26, 44fprod 13938 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A  =  (  seq 1 (  x.  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
464, 45syl5eq 2474 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  x.  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
478, 36seq1i 12177 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4846, 47eqtrd 2462 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   [_csb 3338   {csn 3941   <.cop 3947   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   1c1 9491    x. cmul 9495   NNcn 10560   ZZcz 10888   ...cfz 11735    seqcseq 12163   prod_cprod 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-prod 13903
This theorem is referenced by:  fprod1  13960  fprodm1  13964  fprod1p  13965  prodsns  13969  fprod2dlem  13977  fprodefsum  14092  fproddvdsd  14313  prmdvdsprmo  14943  prmdvdsprmorOLD  14958  hoidmv1le  38263
  Copyright terms: Public domain W3C validator