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Theorem prodmo 13825
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmo.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
Assertion
Ref Expression
prodmo  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    k, F, n    ph, k, n    A, f, j, m, x    B, f, j, m   
f, F, j, k, m    ph, f, x    x, F    j, G, x    j,
k, m, ph, x    x, n, ph    x, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( x, y, k, n)    F( y)    G( y, f, k, m, n)

Proof of Theorem prodmo
Dummy variables  a 
g  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
21reximi 2922 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
3 3simpb 992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
43reximi 2922 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )
5 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  w )
)
65sseq2d 3517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  w ) ) )
7 seqeq1 12092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  seq m (  x.  ,  F )  =  seq w (  x.  ,  F ) )
87breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
96, 8anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
109cbvrexv 3082 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z )  <->  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )
1110anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
12 reeanv 3022 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
14 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
1514adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
16 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
17 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1817adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
19 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
20 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
21 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
2221adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m
) )
23 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w )
)
2423adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w
) )
2516, 18, 19, 20, 22, 24prodrb 13821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  -> 
(  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
2615, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )
27 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
29 climuni 13457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  x  =  z )
3026, 28, 29syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  x  =  z )
3130expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
3231ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
3332rexlimivv 2951 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
3413, 33sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
352, 4, 34syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
36 prodmo.3 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
3716, 17, 36prodmolem2 13824 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  -> 
z  =  x ) )
38 equcomi 1798 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  x  =  z )
3937, 38syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
4039expimpd 601 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
4140com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
4241ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
4316, 17, 36prodmolem2 13824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
4443expimpd 601 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
4544com12 31 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
46 reeanv 3022 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. w  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
47 eeanv 1993 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
48472rexbii 2957 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <->  E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
49 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... w
) )
50 f1oeq2 5790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... w )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
52 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
) )
5352eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) )
5451, 53anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 w ) ) ) )
5554exbidv 1719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) ) )
56 f1oeq1 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
57 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  j )  =  ( g `  j ) )
5857csbeq1d 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
5958mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) )
6036, 59syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) )
6160seqeq3d 12097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  x.  ,  G )  =  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) )
6261fveq1d 5850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) )
6362eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6456, 63anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
) ) `  w
) ) ) )
6564cbvexv 2029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6655, 65syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
6766cbvrexv 3082 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. w  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6867anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. w  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
6946, 48, 683bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
70 an4 822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  m )  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
71 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
7271, 17sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
73 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  a  ->  (
f `  j )  =  ( f `  a ) )
7473csbeq1d 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B )
7574cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B
)  =  ( a  e.  NN  |->  [_ (
f `  a )  /  k ]_ B
)
7636, 75eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( a  e.  NN  |->  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B )
77 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  (
g `  j )  =  ( g `  a ) )
7877csbeq1d 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B )
7978cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
)  =  ( a  e.  NN  |->  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B
)
80 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )
81 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
82 simprr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
8316, 72, 76, 79, 80, 81, 82prodmolem3 13822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) )
84 eqeq12 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) )  -> 
( x  =  z  <-> 
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
8583, 84syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m )  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) )  ->  x  =  z )
)
8685expimpd 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8770, 86syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8887exlimdvv 1730 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8988rexlimdvva 2953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
9069, 89syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
9190com12 31 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
9235, 42, 45, 91ccase 944 . . . 4  |-  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
9392com12 31 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  z ) )
9493alrimivv 1725 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. z
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  z ) )
95 breq2 4443 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
96953anbi3d 1303 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
9796rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
98 eqeq1 2458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )
9998anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) ) ) )
10099exbidv 1719 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
101100rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
10297, 101orbi12d 707 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) ) )
103102mo4 2335 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. z ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  z ) )
10494, 103sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   E*wmo 2285    =/= wne 2649   E.wrex 2805   [_csb 3420    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089    ~~> cli 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393
This theorem is referenced by:  fprod  13830
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