Theorem prodmo 13978

Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmo.3	|- G = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )

Assertion

Ref	Expression
prodmo	|- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   k, F, n   ph, k, n   A, f, j, m, x   B, f, j, m   f, F, j, k, m   ph, f, x   x, F   j, G, x   j, k, m, ph, x   x, n, ph   x, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( x, y, k, n)   F( y)   G( y, f, k, m, n)

Proof of Theorem prodmo

Dummy variables a g w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1003	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
2	1	reximi 2893	. . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
3		3simpb 1003	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
4	3	reximi 2893	. . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
5		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
6	5	sseq2d 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
7		seqeq1 12216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
8	7	breq1d 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> z <-> seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
9	6, 8	anbi12d 715	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
10	9	cbvrexv 3056	. . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
11	10	anbi2i 698	. . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
12		reeanv 2996	. . . . . . . 8 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
13	11, 12	bitr4i 255	. . . . . . 7 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
14		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
15	14	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
16		prodmo.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
17		prodmo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
18	17	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
19		simprll 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> m e. ZZ )
20		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> w e. ZZ )
21		simprll 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
22	21	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
23		simprrl 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
24	23	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
25	16, 18, 19, 20, 22, 24	prodrb 13974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
26	15, 25	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
27		simprrr 773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
28	27	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
29		climuni 13604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) -> x = z )
30	26, 28, 29	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> x = z )
31	30	expcom 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
32	31	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) ) )
33	32	rexlimivv 2922	. . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
34	13, 33	sylbi 198	. . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
35	2, 4, 34	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
36		prodmo.3	. . . . . . . . . 10 |- G = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
37	16, 17, 36	prodmolem2 13977	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> z = x ) )
38		equcomi 1843	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> x = z )
39	37, 38	syl6 34	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
40	39	expimpd 606	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
41	40	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
42	41	ancoms 454	. . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
43	16, 17, 36	prodmolem2 13977	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
44	43	expimpd 606	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
45	44	com12 32	. . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
46		reeanv 2996	. . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
47		eeanv 2043	. . . . . . . . 9 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
48	47	2rexbii 2928	. . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) <-> E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
49		oveq2 6310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) )
50		f1oeq2 5820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
52		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) )
53	52	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) )
54	51, 53	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
55	54	exbidv 1758	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
56		f1oeq1 5819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
57		fveq1 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f ` j ) = ( g ` j ) )
58	57	csbeq1d 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
59	58	mpteq2dv 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B ) = ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) )
60	36, 59	syl5eq 2475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> G = ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) )
61	60	seqeq3d 12221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> seq 1 ( x. , G ) = seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) )
62	61	fveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) )
63	62	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) <-> z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) )
64	56, 63	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
65	64	cbvexv 2078	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) )
66	55, 65	syl6bb 264	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
67	66	cbvrexv 3056	. . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) )
68	67	anbi2i 698	. . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
69	46, 48, 68	3bitr4i 280	. . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
70		an4 831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) )
71		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
72	71, 17	sylan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
73		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( f ` j ) = ( f ` a ) )
74	73	csbeq1d 3402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
75	74	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B ) = ( a e. NN |-> [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
76	36, 75	eqtri 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( a e. NN |-> [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
77		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> ( g ` j ) = ( g ` a ) )
78	77	csbeq1d 3402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = a -> [_ ( g ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
79	78	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) = ( a e. NN |-> [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
80		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ w e. NN ) )
81		simprl 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
82		simprr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
83	16, 72, 76, 79, 80, 81, 82	prodmolem3 13975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) )
84		eqeq12 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) -> ( x = z <-> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) )
85	83, 84	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) -> x = z ) )
86	85	expimpd 606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
87	70, 86	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
88	87	exlimdvv 1769	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
89	88	rexlimdvva 2924	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
90	69, 89	syl5bir 221	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
91	90	com12 32	. . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
92	35, 42, 45, 91	ccase 954	. . . 4 |- ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
93	92	com12 32	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
94	93	alrimivv 1764	. 2 |- ( ph -> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
95		breq2 4424	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
96	95	3anbi3d 1341	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
97	96	rexbidv 2939	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
98		eqeq1 2426	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
99	98	anbi2d 708	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
100	99	exbidv 1758	. . . . 5 |- ( x = z -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
101	100	rexbidv 2939	. . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
102	97, 101	orbi12d 714	. . 3 |- ( x = z -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) )
103	102	mo4 2313	. 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
104	94, 103	sylibr 215	1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   E*wmo 2266   =/= wne 2618   E.wrex 2776   [_csb 3395   C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540   1c1 9541   x. cmul 9545   NNcn 10610   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785   seqcseq 12213   ~~> cli 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540

This theorem is referenced by:  fprod  13983