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Theorem prodmo 27400
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmo.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
Assertion
Ref Expression
prodmo  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, n    k, F, n    ph, k, n    A, f, j, m, x    B, f, j, m   
f, F, j, k, m    ph, f, x    x, F    j, G, x    j,
k, m, ph, x    x, n, ph    x, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    B( x, y, k, n)    F( y)    G( y, f, k, m, n)

Proof of Theorem prodmo
Dummy variables  a 
g  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 986 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
21reximi 2818 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )
3 3simpb 986 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
43reximi 2818 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )
5 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  w )
)
65sseq2d 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  w ) ) )
7 seqeq1 11801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  seq m (  x.  ,  F )  =  seq w (  x.  ,  F ) )
87breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
96, 8anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
109cbvrexv 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z )  <->  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )
1110anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
12 reeanv 2883 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  <->  E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
14 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
16 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
17 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
19 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
20 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
21 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m
) )
23 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w )
)
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w
) )
2516, 18, 19, 20, 22, 24prodrb 27396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  -> 
(  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
2615, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )
27 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
29 climuni 13022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  x  =  z )
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  x  =  z )
3130expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
3231ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
3332rexlimivv 2841 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
3413, 33sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
352, 4, 34syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
36 prodmo.3 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
3716, 17, 36prodmolem2 27399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  -> 
z  =  x ) )
38 equcomi 1731 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  x  =  z )
3937, 38syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
4039expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
4140com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
4241ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
4316, 17, 36prodmolem2 27399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
4443expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
4544com12 31 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
46 reeanv 2883 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. w  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
47 eeanv 1931 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
48472rexbii 2737 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <->  E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
49 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... w
) )
50 f1oeq2 5628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... w )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
52 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
) )
5352eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) )
5451, 53anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 w ) ) ) )
5554exbidv 1680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) ) )
56 f1oeq1 5627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
57 fveq1 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  j )  =  ( g `  j ) )
5857csbeq1d 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
5958mpteq2dv 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) )
6036, 59syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) )
6160seqeq3d 11806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  x.  ,  G )  =  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) )
6261fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) )
6362eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6456, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
) ) `  w
) ) ) )
6564cbvexv 1972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6655, 65syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
6766cbvrexv 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. w  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
6867anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. w  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
6946, 48, 683bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
70 an4 820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  <-> 
( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  m )  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) ) )
71 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
7271, 17sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
73 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  a  ->  (
f `  j )  =  ( f `  a ) )
7473csbeq1d 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B )
7574cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B
)  =  ( a  e.  NN  |->  [_ (
f `  a )  /  k ]_ B
)
7636, 75eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( a  e.  NN  |->  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B )
77 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  (
g `  j )  =  ( g `  a ) )
7877csbeq1d 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B )
7978cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
)  =  ( a  e.  NN  |->  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B
)
80 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )
81 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
82 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
8316, 72, 76, 79, 80, 81, 82prodmolem3 27397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) )
84 eqeq12 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) )  -> 
( x  =  z  <-> 
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )
8583, 84syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m )  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ) ) `  w ) )  ->  x  =  z )
)
8685expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8770, 86syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8887exlimdvv 1691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
8988rexlimdvva 2843 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ) ) `  w ) ) )  ->  x  =  z ) )
9069, 89syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
9190com12 31 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
9235, 42, 45, 91ccase 937 . . . 4  |-  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
9392com12 31 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  z ) )
9493alrimivv 1686 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. z
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  z ) )
95 breq2 4291 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
96953anbi3d 1295 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
9796rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
98 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )
9998anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) ) ) )
10099exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
101100rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
10297, 101orbi12d 709 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) ) )
103102mo4 2315 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. z ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  z ) )
10494, 103sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2253    =/= wne 2601   E.wrex 2711   [_csb 3283    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429    seqcseq 11798    ~~> cli 12954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958
This theorem is referenced by:  fprod  27405
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