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Theorem prodeq2w 13909
Description: Equality theorem for product, when the class expressions 
B and  C are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2w  |-  ( A. k  B  =  C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem prodeq2w
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ  =  ZZ
2 ifeq1 3858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  C  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
32alimi 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
4 alral 2730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k if ( k  e.  A ,  B , 
1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  B  =  C  ->  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
6 mpteq12 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ZZ  =  ZZ  /\  A. k  e.  ZZ  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
71, 5, 6sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
87seqeq3d 12171 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
98breq1d 4376 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
109anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <-> 
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1110exbidv 1762 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1211rexbidv 2878 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
137seqeq3d 12171 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1413breq1d 4376 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
1512, 143anbi23d 1338 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1615rexbidv 2878 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
17 csbeq2 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
1817mpteq2dv 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
1918seqeq3d 12171 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) )  =  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
2019fveq1d 5827 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
2120eqeq2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
2221anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
2322exbidv 1762 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2423rexbidv 2878 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2516, 24orbi12d 714 . . 3  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
2625iotabidv 5529 . 2  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
27 df-prod 13903 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
28 df-prod 13903 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2926, 27, 283eqtr4g 2487 1  |-  ( A. k  B  =  C  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   [_csb 3338    C_ wss 3379   ifcif 3854   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   iotacio 5506   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   NNcn 10560   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735    seqcseq 12163    ~~> cli 13491   prod_cprod 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-xp 4802  df-cnv 4804  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-iota 5508  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-seq 12164  df-prod 13903
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