Theorem prodeq2ii 27272

Description: Equality theorem for product, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2ii	|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii

Dummy variables f m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 10857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` m ) -> n e. ZZ )
2	1	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ZZ )
3		nfra1 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C )
4		rsp 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
5	4	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
6		ifeq1 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) ) )
8		iffalse 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
9		iffalse 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
10	8, 9	eqtr4d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
11	7, 10	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
12		fvif 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) )
13		fvif 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) )
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
15	3, 14	mpteq2da 4365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16	15	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17	16	fveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
18	17	adantlr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
19		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
20		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) )
21	19, 20	fvmptex 5772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x )
22		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
23		eqid 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24	22, 23	fvmptex 5772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x )
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
26	2, 25	seqfeq 11814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
27	26	breq1d 4290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
28	27	anbi2d 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
29	28	exbidv 1679	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
30	29	rexbidva 2722	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
31	30	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
32		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
33	15	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
34	33	fveq1d 5681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
35	34, 21, 24	3eqtr4g 2490	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
36	35	adantlr 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
37	32, 36	seqfeq 11814	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
38	37	breq1d 4290	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
39	31, 38	3anbi23d 1285	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
40	39	rexbidva 2722	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
41		simplr 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
42		nnuz 10883	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43	41, 42	syl6eleq 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
44		f1of 5629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
45	44	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
46		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
47	45, 46	sylancom 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
48		simplll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
49		nfcsb1v 3292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
50		nfcsb1v 3292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
51	49, 50	nfeq 2576	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
52		csbeq1a 3285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
53		csbeq1a 3285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
54	52, 53	eqeq12d 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
55	51, 54	rspc 3056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
56	47, 48, 55	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
57		fvex 5689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
58		csbfv2g 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60		csbfv2g 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
61	57, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
62	56, 59, 61	3eqtr3g 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
63		elfznn 11464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
64	63	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
65		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
66	65	csbeq1d 3283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
67		eqid 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
68	66, 67	fvmpti 5761	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
70	65	csbeq1d 3283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
71		eqid 2433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
72	70, 71	fvmpti 5761	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
73	64, 72	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
75	43, 74	seqfveq 11813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
76	75	eqeq2d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
77	76	pm5.32da 634	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
78	77	exbidv 1679	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
79	78	rexbidva 2722	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
80	40, 79	orbi12d 702	. . 3 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
81	80	iotabidv 5390	. 2 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
82		df-prod 27265	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
83		df-prod 27265	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
84	81, 82, 83	3eqtr4g 2490	1 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   [_csb 3276   C_ wss 3316   ifcif 3779   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   _I cid 4618   iotacio 5367   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9269   1c1 9270   x. cmul 9274   NNcn 10309   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423   seqcseq 11789   ~~> cli 12945   prod_cprod 27264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-seq 11790  df-prod 27265

This theorem is referenced by:  prodeq2  27273  prod2id  27287