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Theorem prodeq2ii 28622
Description: Equality theorem for product, with the class expressions 
B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  n  e.  ZZ )
21adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  n  e.  ZZ )
3 nfra1 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )
4 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( k  e.  A  ->  (  _I 
`  B )  =  (  _I  `  C
) ) )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  A  -> 
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C ) ) )
6 ifeq1 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
75, 6syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) ) )
8 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  (  _I  ` 
1 ) )
9 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  (  _I  ` 
1 ) )
108, 9eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
117, 10pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B
) ,  (  _I 
`  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) ) )
12 fvif 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  B ) ,  (  _I  ` 
1 ) )
13 fvif 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  =  if ( k  e.  A ,  (  _I  `  C ) ,  (  _I  ` 
1 ) )
1411, 12, 133eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
153, 14mpteq2da 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
1716fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x
) )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x ) )
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )
2119, 20fvmptex 5958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )
2422, 23fvmptex 5958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x )
2518, 21, 243eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
262, 25seqfeq 12096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
2726breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
y  =/=  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
2928exbidv 1690 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
3029rexbidva 2970 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
32 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
3315adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
3433fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) `  x
)  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) `  x
) )
3534, 21, 243eqtr4g 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
3635adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  x )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) `  x ) )
3732, 36seqfeq 12096 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) ) )
3837breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
3931, 383anbi23d 1302 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
4039rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
42 nnuz 11113 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4341, 42syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
44 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
46 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4745, 46sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
48 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
49 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
50 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
5149, 50nfeq 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
52 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
53 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
5452, 53eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
5551, 54rspc 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
5647, 48, 55sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
57 fvex 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
58 csbfv2g 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
60 csbfv2g 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
6157, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
6256, 59, 613eqtr3g 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
63 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
65 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
6665csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
67 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
6866, 67fvmpti 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7065csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
71 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
7270, 71fvmpti 5947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7364, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7462, 69, 733eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
7543, 74seqfveq 12095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
7675eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7776pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
7877exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
7978rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8040, 79orbi12d 709 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
8180iotabidv 5570 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
82 df-prod 28615 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
83 df-prod 28615 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8481, 82, 833eqtr4g 2533 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   iotacio 5547   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668    seqcseq 12071    ~~> cli 13266   prod_cprod 28614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-prod 28615
This theorem is referenced by:  prodeq2  28623  prod2id  28637
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