Theorem prodeq2ii 14044

Description: Equality theorem for product, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2ii	|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii

Dummy variables f m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` m ) -> n e. ZZ )
2	1	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ZZ )
3		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C )
4		rsp 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
5	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
6		ifeq1 3876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) ) )
8		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
9		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
10	8, 9	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
11	7, 10	pm2.61d1 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
12		fvif 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) )
13		fvif 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) )
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
15	3, 14	mpteq2da 4481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16	15	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17	16	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
18	17	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
19		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
20		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) )
21	19, 20	fvmptex 5975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x )
22		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
23		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24	22, 23	fvmptex 5975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x )
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
26	2, 25	seqfeq 12276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
27	26	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
28	27	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
29	28	exbidv 1776	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
30	29	rexbidva 2889	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
31	30	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
32		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
33	15	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
34	33	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
35	34, 21, 24	3eqtr4g 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
36	35	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
37	32, 36	seqfeq 12276	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
38	37	breq1d 4405	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
39	31, 38	3anbi23d 1368	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
40	39	rexbidva 2889	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
41		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
42		nnuz 11218	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43	41, 42	syl6eleq 2559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
44		f1of 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
45	44	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
46		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
47	45, 46	sylancom 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
48		simplll 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
49		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
50		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
51	49, 50	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
52		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
53		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
54	52, 53	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
55	51, 54	rspc 3130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
56	47, 48, 55	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
57		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
58		csbfv2g 5915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60		csbfv2g 5915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
61	57, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
62	56, 59, 61	3eqtr3g 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
63		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
64	63	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
65		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
66	65	csbeq1d 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
67		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
68	66, 67	fvmpti 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
70	65	csbeq1d 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
71		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
72	70, 71	fvmpti 5962	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
73	64, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
75	43, 74	seqfveq 12275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
76	75	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
77	76	pm5.32da 653	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
78	77	exbidv 1776	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
79	78	rexbidva 2889	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
80	40, 79	orbi12d 724	. . 3 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
81	80	iotabidv 5574	. 2 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
82		df-prod 14037	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
83		df-prod 14037	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
84	81, 82, 83	3eqtr4g 2530	1 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   iotacio 5551   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   seqcseq 12251   ~~> cli 13625   prod_cprod 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252  df-prod 14037

This theorem is referenced by:  prodeq2  14045  prod2id  14059