Theorem prodeq2ii 13955

Description: Equality theorem for product, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2ii	|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii

Dummy variables f m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` m ) -> n e. ZZ )
2	1	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ZZ )
3		nfra1 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C )
4		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
5	4	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
6		ifeq1 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
7	5, 6	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) ) )
8		iffalse 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
9		iffalse 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
10	8, 9	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
11	7, 10	pm2.61d1 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
12		fvif 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) )
13		fvif 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) )
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
15	3, 14	mpteq2da 4506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16	15	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17	16	fveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
18	17	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
19		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
20		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) )
21	19, 20	fvmptex 5973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x )
22		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
23		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24	22, 23	fvmptex 5973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x )
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
26	2, 25	seqfeq 12238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
27	26	breq1d 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
28	27	anbi2d 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
29	28	exbidv 1758	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
30	29	rexbidva 2936	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
31	30	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
32		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
33	15	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
34	33	fveq1d 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
35	34, 21, 24	3eqtr4g 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
36	35	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
37	32, 36	seqfeq 12238	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
38	37	breq1d 4430	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
39	31, 38	3anbi23d 1338	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
40	39	rexbidva 2936	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
41		simplr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
42		nnuz 11195	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43	41, 42	syl6eleq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
44		f1of 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
45	44	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
46		ffvelrn 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
47	45, 46	sylancom 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
48		simplll 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
49		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
50		nfcsb1v 3411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
51	49, 50	nfeq 2595	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
52		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
53		csbeq1a 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
54	52, 53	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
55	51, 54	rspc 3176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
56	47, 48, 55	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
57		fvex 5888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
58		csbfv2g 5914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60		csbfv2g 5914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
61	57, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
62	56, 59, 61	3eqtr3g 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
63		elfznn 11829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
64	63	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
65		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
66	65	csbeq1d 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
67		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
68	66, 67	fvmpti 5960	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
70	65	csbeq1d 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
71		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
72	70, 71	fvmpti 5960	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
73	64, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
75	43, 74	seqfveq 12237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
76	75	eqeq2d 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
77	76	pm5.32da 645	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
78	77	exbidv 1758	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
79	78	rexbidva 2936	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
80	40, 79	orbi12d 714	. . 3 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
81	80	iotabidv 5583	. 2 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
82		df-prod 13948	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
83		df-prod 13948	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
84	81, 82, 83	3eqtr4g 2488	1 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   [_csb 3395   C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   _I cid 4760   iotacio 5560   -->wf 5594   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541   x. cmul 9545   NNcn 10610   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785   seqcseq 12213   ~~> cli 13536   prod_cprod 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-seq 12214  df-prod 13948

This theorem is referenced by:  prodeq2  13956  prod2id  13970