Theorem prodeq2ii 13731

Description: Equality theorem for product, with the class expressions B and C guarded by _I to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2ii	|- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodeq2ii

Dummy variables f m n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` m ) -> n e. ZZ )
2	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ZZ )
3		nfra1 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C )
4		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> ( _I ` B ) = ( _I ` C ) ) )
6		ifeq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
7	5, 6	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) ) )
8		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
9		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) = ( _I ` 1 ) )
10	8, 9	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
11	7, 10	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) ) )
12		fvif 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` B ) , ( _I ` 1 ) )
13		fvif 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) = if ( k e. A , ( _I ` C ) , ( _I ` 1 ) )
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ k e. ZZ ) -> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
15	3, 14	mpteq2da 4542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17	16	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
18	17	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
19		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
20		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) )
21	19, 20	fvmptex 5967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x )
22		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
23		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24	22, 23	fvmptex 5967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x )
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
26	2, 25	seqfeq 12134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
27	26	breq1d 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
28	27	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
29	28	exbidv 1715	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
30	29	rexbidva 2965	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
31	30	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
32		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> m e. ZZ )
33	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
34	33	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> ( _I ` if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ` x ) )
35	34, 21, 24	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` x ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ` x ) )
37	32, 36	seqfeq 12134	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
38	37	breq1d 4466	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
39	31, 38	3anbi23d 1302	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
40	39	rexbidva 2965	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
41		simplr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
42		nnuz 11141	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
43	41, 42	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
44		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
45	44	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
46		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : ( 1 ... m ) --> A /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
47	45, 46	sylancom 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( f ` x ) e. A )
48		simplll 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) )
49		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B )
50		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
51	49, 50	nfeq 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C )
52		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) )
53		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` x ) -> ( _I ` C ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
54	52, 53	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( _I ` B ) = ( _I ` C ) <-> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
55	51, 54	rspc 3204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) ) )
56	47, 48, 55	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) )
57		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f ` x ) e. _V
58		csbfv2g 5908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
60		csbfv2g 5908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) e. _V -> [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
61	57, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( f ` x ) / k ]_ ( _I ` C ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
62	56, 59, 61	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
63		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 ... m ) -> x e. NN )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> x e. NN )
65		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = x -> ( f ` n ) = ( f ` x ) )
66	65	csbeq1d 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` x ) / k ]_ B )
67		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
68	66, 67	fvmpti 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ B ) )
70	65	csbeq1d 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = x -> [_ ( f ` n ) / k ]_ C = [_ ( f ` x ) / k ]_ C )
71		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
72	70, 71	fvmpti 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
73	64, 72	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) = ( _I ` [_ ( f ` x ) / k ]_ C ) )
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ x e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ` x ) = ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ` x ) )
75	43, 74	seqfveq 12133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
76	75	eqeq2d 2471	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
77	76	pm5.32da 641	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
78	77	exbidv 1715	. . . . 5 |- ( ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
79	78	rexbidva 2965	. . . 4 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
80	40, 79	orbi12d 709	. . 3 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
81	80	iotabidv 5578	. 2 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
82		df-prod 13724	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
83		df-prod 13724	. 2 |- prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
84	81, 82, 83	3eqtr4g 2523	1 |- ( A. k e. A ( _I ` B ) = ( _I ` C ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [_csb 3430   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   iotacio 5555   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   seqcseq 12109   ~~> cli 13318   prod_cprod 13723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-prod 13724

This theorem is referenced by:  prodeq2  13732  prod2id  13746