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Theorem prodeq1f 27372
Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodeq1f.1  |-  F/_ k A
prodeq1f.2  |-  F/_ k B
Assertion
Ref Expression
prodeq1f  |-  ( A  =  B  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )

Proof of Theorem prodeq1f
Dummy variables  f  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3372 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  B  C_  ( ZZ>= `  m ) ) )
2 prodeq1f.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k A
3 prodeq1f.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k B
42, 3nfeq 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  A  =  B
5 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  B  ->  (
k  e.  A  <->  k  e.  B ) )
65ifbid 3806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  B  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  B  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
1 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) )
84, 7mpteq2da 4372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  B  ->  (
k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )
98seqeq3d 11806 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  =  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) )
109breq1d 4297 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  (  seq n (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1110anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1211exbidv 1680 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
1312rexbidv 2731 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
148seqeq3d 11806 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  =  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) ) )
1514breq1d 4297 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) )
161, 13, 153anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( B  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1716rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y
( y  =/=  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  , 
( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x ) ) )
18 f1oeq3 5629 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... m
)
-1-1-onto-> B ) )
1918anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
2019exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2120rexbidv 2731 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2217, 21orbi12d 709 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
2322iotabidv 5397 . 2  |-  ( A  =  B  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
24 df-prod 27370 . 2  |-  prod_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
25 df-prod 27370 . 2  |-  prod_ k  e.  B  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( B  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  B ,  C ,  1 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
2623, 24, 253eqtr4g 2495 1  |-  ( A  =  B  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   E.wrex 2711   [_csb 3283    C_ wss 3323   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   iotacio 5374   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429    seqcseq 11798    ~~> cli 12954   prod_cprod 27369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-cnv 4843  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seq 11799  df-prod 27370
This theorem is referenced by:  prodeq1  27373
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