Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probmeasb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem probmeasb 29336
 Description: Build a probability from a measure and a set with finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probmeasb measures Prob
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem probmeasb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measinb 29117 . . . . 5 measures measures
2 measdivcstOLD 29120 . . . . 5 measures /𝑒 measures
31, 2stoic3 1668 . . . 4 measures /𝑒 measures
4 eqidd 2472 . . . . . . . 8 measures
5 simpr 468 . . . . . . . . . 10 measures
65ineq1d 3624 . . . . . . . . 9 measures
76fveq2d 5883 . . . . . . . 8 measures
8 simpr 468 . . . . . . . 8 measures
9 simp1 1030 . . . . . . . . . 10 measures measures
109adantr 472 . . . . . . . . 9 measures measures
11 measbase 29093 . . . . . . . . . . 11 measures sigAlgebra
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 measures sigAlgebra
13 simp2 1031 . . . . . . . . . . 11 measures
1413adantr 472 . . . . . . . . . 10 measures
15 inelsiga 29031 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
1612, 8, 14, 15syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 measures
17 measvxrge0 29101 . . . . . . . . 9 measures
1810, 16, 17syl2anc 673 . . . . . . . 8 measures
194, 7, 8, 18fvmptd 5969 . . . . . . 7 measures
2019oveq1d 6323 . . . . . 6 measures /𝑒 /𝑒
21 iccssxr 11742 . . . . . . . . 9
2221, 18sseldi 3416 . . . . . . . 8 measures
23 simp3 1032 . . . . . . . . . 10 measures
2423adantr 472 . . . . . . . . 9 measures
2524rpred 11364 . . . . . . . 8 measures
26 0xr 9705 . . . . . . . . . 10
27 pnfxr 11435 . . . . . . . . . 10
28 iccgelb 11716 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 28mp3an12 1380 . . . . . . . . 9
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 measures
31 inss2 3644 . . . . . . . . . 10
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
3310, 16, 14, 32measssd 29111 . . . . . . . 8 measures
34 xrrege0 11492 . . . . . . . 8
3522, 25, 30, 33, 34syl22anc 1293 . . . . . . 7 measures
3624rpne0d 11369 . . . . . . 7 measures
37 rexdiv 28470 . . . . . . 7 /𝑒
3835, 25, 36, 37syl3anc 1292 . . . . . 6 measures /𝑒
3920, 38eqtrd 2505 . . . . 5 measures /𝑒
4039mpteq2dva 4482 . . . 4 measures /𝑒
4135, 24rerpdivcld 11392 . . . . . . . 8 measures
4241ralrimiva 2809 . . . . . . 7 measures
43 dmmptg 5339 . . . . . . 7
4442, 43syl 17 . . . . . 6 measures
4544fveq2d 5883 . . . . 5 measures measures measures
4645eqcomd 2477 . . . 4 measures measures measures
473, 40, 463eltr3d 2563 . . 3 measures measures
48 measbasedom 29098 . . 3 measures measures
4947, 48sylibr 217 . 2 measures measures
5044unieqd 4200 . . . 4 measures
5150fveq2d 5883 . . 3 measures
52 eqidd 2472 . . . 4 measures
5323adantr 472 . . . . . 6 measures
5453rpcnd 11366 . . . . 5 measures
5523rpne0d 11369 . . . . . 6 measures
5655adantr 472 . . . . 5 measures
57 simpr 468 . . . . . . . 8 measures
5857ineq1d 3624 . . . . . . 7 measures
59 incom 3616 . . . . . . . . . 10
60 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11
61 df-ss 3404 . . . . . . . . . . 11
6260, 61sylib 201 . . . . . . . . . 10
6359, 62syl5eq 2517 . . . . . . . . 9
6413, 63syl 17 . . . . . . . 8 measures
6564adantr 472 . . . . . . 7 measures
6658, 65eqtrd 2505 . . . . . 6 measures
6766fveq2d 5883 . . . . 5 measures
6854, 56, 67diveq1bd 10453 . . . 4 measures
69 sgon 29020 . . . . 5 sigAlgebra sigAlgebra
70 baselsiga 29011 . . . . 5 sigAlgebra
719, 11, 69, 704syl 19 . . . 4 measures
72 1red 9676 . . . 4 measures
7352, 68, 71, 72fvmptd 5969 . . 3 measures
7451, 73eqtrd 2505 . 2 measures
75 elprob 29315 . 2 Prob measures
7649, 74, 75sylanbrc 677 1 measures Prob
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cin 3389   wss 3390  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   cle 9694   cdiv 10291  crp 11325  cicc 11663   /𝑒 cxdiv 28461  sigAlgebracsiga 29003  measurescmeas 29091  Probcprb 29313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-xdiv 28462  df-esum 28923  df-siga 29004  df-meas 29092  df-prob 29314 This theorem is referenced by:  cndprobprob  29344
 Copyright terms: Public domain W3C validator