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Theorem probfinmeasbOLD 24639
Description: Build a probability measure from a finite measure (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S

Proof of Theorem probfinmeasbOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstOLD 24531 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  S )
)
2 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  e.  _V
32rgenw 2733 . . . . . 6  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  _V
4 dmmptg 5326 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  S )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  =  S
65fveq2i 5690 . . . 4  |-  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) ) )  =  (measures `  S
)
71, 6syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
8 measbasedom 24509 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e.  U. ran measures  <->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
97, 8sylibr 204 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. 
U. ran measures )
105unieqi 3985 . . . 4  |-  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )  =  U. S
1110fveq2i 5690 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )
12 measbase 24504 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
13 isrnsigau 24463 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
1413simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) )
1514simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
1612, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  U. S  e.  S )
17 id 20 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR+ )
1817, 17rpxdivcld 24133 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )
1916, 18anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ ) )
20 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. S  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. S ) )
2120oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. S  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
22 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
2321, 22fvmptg 5763 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
25 rpre 10574 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR )
26 rpne0 10583 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  =/=  0 )
27 xdivid 24127 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  U. S )  e.  RR  /\  ( M `  U. S )  =/=  0
)  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  =  1 )
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  1 )
2928adantl 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  U. S
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  =  1 )
3024, 29eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  1 )
3111, 30syl5eq 2448 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  1 )
32 elprob 24620 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e. Prob 
<->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) )  e.  U. ran measures 
/\  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) `  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) ) )  =  1 ) )
339, 31, 32sylanbrc 646 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   omcom 4804   dom cdm 4837   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   RR+crp 10568   /𝑒 cxdiv 24116  sigAlgebracsiga 24443  measurescmeas 24502  Probcprb 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tsms 18109  df-xdiv 24117  df-esum 24378  df-siga 24444  df-meas 24503  df-prob 24619
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