Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasbOLD Structured version   Unicode version

Theorem probfinmeasbOLD 26741
Description: Build a probability measure from a finite measure (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S

Proof of Theorem probfinmeasbOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstOLD 26574 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  S )
)
2 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  e.  _V
32rgenw 2781 . . . . . 6  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  _V
4 dmmptg 5332 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  =  S
65fveq2i 5691 . . . 4  |-  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) ) )  =  (measures `  S
)
71, 6syl6eleqr 2532 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
8 measbasedom 26552 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e.  U. ran measures  <->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
97, 8sylibr 212 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. 
U. ran measures )
105unieqi 4097 . . . 4  |-  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )  =  U. S
1110fveq2i 5691 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )
12 measbase 26547 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
13 isrnsigau 26506 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
1413simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) )
1514simp1d 995 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
1612, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  U. S  e.  S )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR+ )
1817, 17rpxdivcld 26042 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )
1916, 18anim12i 563 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ ) )
20 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. S  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. S ) )
2120oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. S  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
22 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
2321, 22fvmptg 5769 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
25 rpre 10993 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR )
26 rpne0 11002 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  =/=  0 )
27 xdivid 26036 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  U. S )  e.  RR  /\  ( M `  U. S )  =/=  0
)  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  =  1 )
2825, 26, 27syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  1 )
2928adantl 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  U. S
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  =  1 )
3024, 29eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  1 )
3111, 30syl5eq 2485 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  1 )
32 elprob 26722 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e. Prob 
<->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) )  e.  U. ran measures 
/\  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) `  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) ) )  =  1 ) )
339, 31, 32sylanbrc 659 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~<_ cdom 7304   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   RR+crp 10987   /𝑒 cxdiv 26025  sigAlgebracsiga 26486  measurescmeas 26545  Probcprb 26720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tsms 19656  df-xdiv 26026  df-esum 26420  df-siga 26487  df-meas 26546  df-prob 26721
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator