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Theorem probfinmeasbOLD 26830
Description: Build a probability measure from a finite measure (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S

Proof of Theorem probfinmeasbOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstOLD 26657 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  S )
)
2 ovex 6135 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  e.  _V
32rgenw 2802 . . . . . 6  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  _V
4 dmmptg 5354 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  =  S
65fveq2i 5713 . . . 4  |-  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) ) )  =  (measures `  S
)
71, 6syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
8 measbasedom 26635 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e.  U. ran measures  <->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
97, 8sylibr 212 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. 
U. ran measures )
105unieqi 4119 . . . 4  |-  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )  =  U. S
1110fveq2i 5713 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )
12 measbase 26630 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
13 isrnsigau 26589 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
1413simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) )
1514simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
1612, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  U. S  e.  S )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR+ )
1817, 17rpxdivcld 26128 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )
1916, 18anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ ) )
20 fveq2 5710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. S  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. S ) )
2120oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. S  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
22 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
2321, 22fvmptg 5791 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
25 rpre 11016 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR )
26 rpne0 11025 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  =/=  0 )
27 xdivid 26122 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  U. S )  e.  RR  /\  ( M `  U. S )  =/=  0
)  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  =  1 )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  1 )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  U. S
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  =  1 )
3024, 29eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  1 )
3111, 30syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  1 )
32 elprob 26811 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e. Prob 
<->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) )  e.  U. ran measures 
/\  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) `  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) ) )  =  1 ) )
339, 31, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2734   _Vcvv 2991    \ cdif 3344    C_ wss 3347   ~Pcpw 3879   U.cuni 4110   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   dom cdm 4859   ran crn 4860   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   omcom 6495    ~<_ cdom 7327   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302   RR+crp 11010   /𝑒 cxdiv 26111  sigAlgebracsiga 26569  measurescmeas 26628  Probcprb 26809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ioc 11324  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-ordt 14458  df-xrs 14459  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-ps 15389  df-tsr 15390  df-mnd 15434  df-mhm 15483  df-submnd 15484  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-ntr 18643  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-haus 18938  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-tsms 19716  df-xdiv 26112  df-esum 26503  df-siga 26570  df-meas 26629  df-prob 26810
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