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Theorem probfinmeasbOLD 28192
Description: Build a probability measure from a finite measure (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S

Proof of Theorem probfinmeasbOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstOLD 28020 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  S )
)
2 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  e.  _V
32rgenw 2828 . . . . . 6  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  _V
4 dmmptg 5510 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  S )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  =  S
65fveq2i 5875 . . . 4  |-  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) ) )  =  (measures `  S
)
71, 6syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
8 measbasedom 27998 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e.  U. ran measures  <->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e.  (measures `  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) ) )
97, 8sylibr 212 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. 
U. ran measures )
105unieqi 4260 . . . 4  |-  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )  =  U. S
1110fveq2i 5875 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )
12 measbase 27993 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
13 isrnsigau 27952 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y )  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S ( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) ) )
1413simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( U. S  \  y
)  e.  S  /\  A. y  e.  ~P  S
( y  ~<_  om  ->  U. y  e.  S ) ) )
1514simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
1612, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  U. S  e.  S )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR+ )
1817, 17rpxdivcld 27454 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )
1916, 18anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. S  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. S ) )
2120oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. S  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
22 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S ) ) )
2321, 22fvmptg 5955 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  ( ( M `
 U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )
25 rpre 11238 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  e.  RR )
26 rpne0 11247 . . . . . 6  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( M `  U. S
)  =/=  0 )
27 xdivid 27448 . . . . . 6  |-  ( ( ( M `  U. S )  e.  RR  /\  ( M `  U. S )  =/=  0
)  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S
) )  =  1 )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( M `  U. S
)  e.  RR+  ->  ( ( M `  U. S ) /𝑒  ( M `  U. S ) )  =  1 )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  U. S
) /𝑒 
( M `  U. S ) )  =  1 )
3024, 29eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. S )  =  1 )
3111, 30syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) `
 U. dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) ) )  =  1 )
32 elprob 28173 . 2  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
( M `  U. S ) ) )  e. Prob 
<->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) )  e.  U. ran measures 
/\  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) ) `  U. dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  ( M `
 U. S ) ) ) )  =  1 ) )
339, 31, 32sylanbrc 664 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  ( M `  U. S )  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  ( M `  U. S
) ) )  e. Prob
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695    ~<_ cdom 7526   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   RR+crp 11232   /𝑒 cxdiv 27437  sigAlgebracsiga 27932  measurescmeas 27991  Probcprb 28171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493  df-xdiv 27438  df-esum 27866  df-siga 27933  df-meas 27992  df-prob 28172
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