Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prob01 Structured version   Unicode version

Theorem prob01 26941
Description: A probability is bounded in [ 0 , 1 ] (First axiom of Kolmogorov) (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
prob01  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem prob01
StepHypRef Expression
1 domprobmeas 26938 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
2 measvxrge0 26765 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (measures `  dom  P )  /\  A  e. 
dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31, 2sylan 471 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4 elxrge0 11512 . . . 4  |-  ( ( P `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( P `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( P `  A ) ) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A ) ) )
61adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  A  e.  dom  P )
8 measbase 26757 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  dom  P  e. 
U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 26717 . . . . . 6  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U.
dom  P  e.  dom  P )
106, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
11 elssuni 4230 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  P  ->  A  C_  U. dom  P
)
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  A  C_  U. dom  P
)
136, 7, 10, 12measssd 26775 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  <_  ( P `  U. dom  P ) )
14 probtot 26940 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
1514breq2d 4413 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( ( P `
 A )  <_ 
( P `  U. dom  P )  <->  ( P `  A )  <_  1
) )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  <_  ( P `  U. dom  P
)  <->  ( P `  A )  <_  1
) )
1713, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  <_  1 )
18 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( ( P `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
)  <->  ( ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A
) )  /\  ( P `  A )  <_  1 ) )
195, 17, 18sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A )  /\  ( P `  A )  <_  1 ) )
20 0xr 9542 . . 3  |-  0  e.  RR*
21 1re 9497 . . . 4  |-  1  e.  RR
2221rexri 9548 . . 3  |-  1  e.  RR*
23 elicc1 11456 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
) ) )
2420, 22, 23mp2an 672 . 2  |-  ( ( P `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
) )
2519, 24sylibr 212 1  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3437   U.cuni 4200   class class class wbr 4401   dom cdm 4949   ran crn 4950   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   +oocpnf 9527   RR*cxr 9529    <_ cle 9531   [,]cicc 11415  sigAlgebracsiga 26696  measurescmeas 26755  Probcprb 26935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-ac2 8744  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-ac 8398  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-ordt 14559  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-mnd 15535  df-plusf 15536  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-subrg 16987  df-abv 17026  df-lmod 17074  df-scaf 17075  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-tmd 19776  df-tgp 19777  df-tsms 19830  df-trg 19867  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-nm 20308  df-ngp 20309  df-nrg 20311  df-nlm 20312  df-ii 20586  df-cncf 20587  df-limc 21475  df-dv 21476  df-log 22142  df-esum 26630  df-siga 26697  df-meas 26756  df-prob 26936
This theorem is referenced by:  probun  26947  probdif  26948  probvalrnd  26952  totprobd  26954  cndprobin  26962  cndprob01  26963  cndprobtot  26964  cndprobnul  26965  cndprobprob  26966  bayesth  26967  dstrvprob  26999  dstfrvclim1  27005
  Copyright terms: Public domain W3C validator