Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prob01 Structured version   Unicode version

Theorem prob01 28575
Description: A probability is bounded in [ 0 , 1 ] (First axiom of Kolmogorov) (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
prob01  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem prob01
StepHypRef Expression
1 domprobmeas 28572 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
2 measvxrge0 28372 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (measures `  dom  P )  /\  A  e. 
dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31, 2sylan 469 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4 elxrge0 11572 . . . 4  |-  ( ( P `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( P `
 A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( P `  A ) ) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A ) ) )
61adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  P  e.  (measures `  dom  P ) )
7 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  A  e.  dom  P )
8 measbase 28364 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (measures `  dom  P )  ->  dom  P  e. 
U. ran sigAlgebra )
9 unielsiga 28312 . . . . . 6  |-  ( dom 
P  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U.
dom  P  e.  dom  P )
106, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  U. dom  P  e.  dom  P )
11 elssuni 4209 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  P  ->  A  C_  U. dom  P
)
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  ->  A  C_  U. dom  P
)
136, 7, 10, 12measssd 28382 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  <_  ( P `  U. dom  P ) )
14 probtot 28574 . . . . . 6  |-  ( P  e. Prob  ->  ( P `  U. dom  P )  =  1 )
1514breq2d 4396 . . . . 5  |-  ( P  e. Prob  ->  ( ( P `
 A )  <_ 
( P `  U. dom  P )  <->  ( P `  A )  <_  1
) )
1615adantr 463 . . . 4  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  <_  ( P `  U. dom  P
)  <->  ( P `  A )  <_  1
) )
1713, 16mpbid 210 . . 3  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  <_  1 )
18 df-3an 973 . . 3  |-  ( ( ( P `  A
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
)  <->  ( ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A
) )  /\  ( P `  A )  <_  1 ) )
195, 17, 18sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( P `  A )  /\  ( P `  A )  <_  1 ) )
20 0xr 9573 . . 3  |-  0  e.  RR*
21 1re 9528 . . . 4  |-  1  e.  RR
2221rexri 9579 . . 3  |-  1  e.  RR*
23 elicc1 11516 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
) ) )
2420, 22, 23mp2an 670 . 2  |-  ( ( P `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( P `  A )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( P `  A
)  /\  ( P `  A )  <_  1
) )
2519, 24sylibr 212 1  |-  ( ( P  e. Prob  /\  A  e.  dom  P )  -> 
( P `  A
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1836    C_ wss 3406   U.cuni 4180   class class class wbr 4384   dom cdm 4930   ran crn 4931   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   0cc0 9425   1c1 9426   +oocpnf 9558   RR*cxr 9560    <_ cle 9562   [,]cicc 11475  sigAlgebracsiga 28291  measurescmeas 28362  Probcprb 28569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-ac2 8778  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-disj 4356  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-fi 7808  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-acn 8258  df-ac 8432  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-mod 11920  df-seq 12034  df-exp 12093  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-shft 12925  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534  df-ef 13828  df-sin 13830  df-cos 13831  df-pi 13833  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-hom 14749  df-cco 14750  df-rest 14853  df-topn 14854  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-topgen 14874  df-pt 14875  df-prds 14878  df-ordt 14931  df-xrs 14932  df-qtop 14937  df-imas 14938  df-xps 14940  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-ps 15970  df-tsr 15971  df-plusf 16011  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-mhm 16106  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-sbg 16199  df-mulg 16200  df-subg 16338  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-cring 17337  df-subrg 17563  df-abv 17602  df-lmod 17650  df-scaf 17651  df-sra 17954  df-rgmod 17955  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-fbas 18552  df-fg 18553  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cld 19628  df-ntr 19629  df-cls 19630  df-nei 19708  df-lp 19746  df-perf 19747  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-haus 19925  df-tx 20171  df-hmeo 20364  df-fil 20455  df-fm 20547  df-flim 20548  df-flf 20549  df-tmd 20679  df-tgp 20680  df-tsms 20733  df-trg 20770  df-xms 20931  df-ms 20932  df-tms 20933  df-nm 21211  df-ngp 21212  df-nrg 21214  df-nlm 21215  df-ii 21489  df-cncf 21490  df-limc 22378  df-dv 22379  df-log 23052  df-esum 28211  df-siga 28292  df-meas 28363  df-prob 28570
This theorem is referenced by:  probun  28581  probdif  28582  probvalrnd  28586  totprobd  28588  cndprobin  28596  cndprob01  28597  cndprobtot  28598  cndprobnul  28599  cndprobprob  28600  bayesth  28601  dstrvprob  28633  dstfrvclim1  28639
  Copyright terms: Public domain W3C validator