MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prnmadd Structured version   Unicode version

Theorem prnmadd 9405
Description: A positive real has no largest member. Addition version. (Contributed by NM, 7-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prnmadd  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem prnmadd
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 9403 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. y  e.  A  B  <Q  y )
2 ltrelnq 9334 . . . . . . 7  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4872 . . . . . 6  |-  ( B 
<Q  y  ->  ( B  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
43simprd 461 . . . . 5  |-  ( B 
<Q  y  ->  y  e. 
Q. )
5 ltexnq 9383 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( B  <Q  y  <->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y ) )
65biimpcd 224 . . . . 5  |-  ( B 
<Q  y  ->  ( y  e.  Q.  ->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y ) )
74, 6mpd 15 . . . 4  |-  ( B 
<Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  =  y )
8 eleq1a 2485 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
( B  +Q  x
)  =  y  -> 
( B  +Q  x
)  e.  A ) )
98eximdv 1731 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. x ( B  +Q  x )  =  y  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A ) )
107, 9syl5 30 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  ( B  <Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  e.  A ) )
1110rexlimiv 2890 . 2  |-  ( E. y  e.  A  B  <Q  y  ->  E. x
( B  +Q  x
)  e.  A )
121, 11syl 17 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  A )  ->  E. x ( B  +Q  x )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   E.wrex 2755   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   Q.cnq 9260    +Q cplq 9263    <Q cltq 9266   P.cnp 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-ni 9280  df-pli 9281  df-mi 9282  df-lti 9283  df-plpq 9316  df-mpq 9317  df-ltpq 9318  df-enq 9319  df-nq 9320  df-erq 9321  df-plq 9322  df-mq 9323  df-1nq 9324  df-ltnq 9326  df-np 9389
This theorem is referenced by:  ltexprlem1  9444  ltexprlem7  9450
  Copyright terms: Public domain W3C validator