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Theorem prnc 32364
Description: A principal ideal (an ideal generated by one element) in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
prnc.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
prnc.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
prnc.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
prnc  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { A }
)  =  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, X, y    x, G, y    x, H, y   
x, A, y

Proof of Theorem prnc
Dummy variables  j  u  v  w  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 32297 . . . . 5  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 ssrab2 3500 . . . . . . 7  |-  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X )
4 prnc.1 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( 1st `  R
)
5 prnc.3 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  G
6 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (GId `  G )  =  (GId
`  G )
74, 5, 6rngo0cl 26207 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  (GId `  G
)  e.  X )
87adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  X
)
9 prnc.2 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
106, 5, 4, 9rngolz 26210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (
(GId `  G ) H A )  =  (GId
`  G ) )
1110eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (GId `  G )  =  ( (GId `  G ) H A ) )
12 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (GId `  G
)  ->  ( y H A )  =  ( (GId `  G ) H A ) )
1312eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (GId `  G
)  ->  ( (GId `  G )  =  ( y H A )  <-> 
(GId `  G )  =  ( (GId `  G ) H A ) ) )
1413rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( (GId `  G )  e.  X  /\  (GId `  G )  =  ( (GId `  G ) H A ) )  ->  E. y  e.  X  (GId `  G )  =  ( y H A ) )
158, 11, 14syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  (GId `  G
)  =  ( y H A ) )
16 eqeq1 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (GId `  G
)  ->  ( x  =  ( y H A )  <->  (GId `  G
)  =  ( y H A ) ) )
1716rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (GId `  G
)  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  (GId `  G
)  =  ( y H A ) ) )
1817elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( (GId
`  G )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( (GId `  G )  e.  X  /\  E. y  e.  X  (GId `  G )  =  ( y H A ) ) )
198, 15, 18sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (GId `  G )  e.  {
x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
20 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  ( y H A )  <->  u  =  ( y H A ) ) )
2120rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  u  =  ( y H A ) ) )
22 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  r  ->  (
y H A )  =  ( r H A ) )
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  r  ->  (
u  =  ( y H A )  <->  u  =  ( r H A ) ) )
2423cbvrexv 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  X  u  =  ( y H A )  <->  E. r  e.  X  u  =  ( r H A ) )
2521, 24syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. r  e.  X  u  =  ( r H A ) ) )
2625elrab 3184 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( u  e.  X  /\  E. r  e.  X  u  =  ( r H A ) ) )
27 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( y H A )  <->  v  =  ( y H A ) ) )
2827rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  v  =  ( y H A ) ) )
29 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  s  ->  (
y H A )  =  ( s H A ) )
3029eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  s  ->  (
v  =  ( y H A )  <->  v  =  ( s H A ) ) )
3130cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  X  v  =  ( y H A )  <->  E. s  e.  X  v  =  ( s H A ) )
3228, 31syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. s  e.  X  v  =  ( s H A ) ) )
3332elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( v  e.  X  /\  E. s  e.  X  v  =  ( s H A ) ) )
344, 9, 5rngodir 26195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
r G s ) H A )  =  ( ( r H A ) G ( s H A ) ) )
35343exp2 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( r  e.  X  ->  ( s  e.  X  ->  ( A  e.  X  ->  (
( r G s ) H A )  =  ( ( r H A ) G ( s H A ) ) ) ) ) )
3635imp42 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( r G s ) H A )  =  ( ( r H A ) G ( s H A ) ) )
374, 5rngogcl 26200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r G s )  e.  X )
38373expib 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r G s )  e.  X ) )
3938imdistani 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( R  e.  RingOps  /\  ( r G s )  e.  X ) )
404, 9, 5rngocl 26191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r G s )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( r G s ) H A )  e.  X )
41403expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r G s )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( (
r G s ) H A )  e.  X )
42 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r G s ) H A )  =  ( ( r G s ) H A )
43 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  ( r G s )  ->  (
y H A )  =  ( ( r G s ) H A ) )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( r G s )  ->  (
( ( r G s ) H A )  =  ( y H A )  <->  ( (
r G s ) H A )  =  ( ( r G s ) H A ) ) )
4544rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( r G s )  e.  X  /\  ( ( r G s ) H A )  =  ( ( r G s ) H A ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( r G s ) H A )  =  ( y H A ) )
4642, 45mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r G s )  e.  X  ->  E. y  e.  X  ( (
r G s ) H A )  =  ( y H A ) )
4746ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r G s )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( (
r G s ) H A )  =  ( y H A ) )
48 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( ( r G s ) H A )  ->  (
x  =  ( y H A )  <->  ( (
r G s ) H A )  =  ( y H A ) ) )
4948rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( ( r G s ) H A )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  ( (
r G s ) H A )  =  ( y H A ) ) )
5049elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( r G s ) H A )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( (
( r G s ) H A )  e.  X  /\  E. y  e.  X  (
( r G s ) H A )  =  ( y H A ) ) )
5141, 47, 50sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r G s )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( (
r G s ) H A )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
5239, 51sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( r G s ) H A )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
5336, 52eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( r H A ) G ( s H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
5453an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  ->  (
( r H A ) G ( s H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
5554anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  A  e.  X
)  /\  r  e.  X )  /\  s  e.  X )  ->  (
( r H A ) G ( s H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
56 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( s H A )  ->  (
( r H A ) G v )  =  ( ( r H A ) G ( s H A ) ) )
5756eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s H A )  ->  (
( ( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( (
r H A ) G ( s H A ) )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
5855, 57syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  A  e.  X
)  /\  r  e.  X )  /\  s  e.  X )  ->  (
v  =  ( s H A )  -> 
( ( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
5958rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  ( E. s  e.  X  v  =  ( s H A )  ->  (
( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
6059adantld 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  ( (
v  e.  X  /\  E. s  e.  X  v  =  ( s H A ) )  -> 
( ( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
6133, 60syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  ( v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ->  ( ( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
6261ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
634, 9, 5rngoass 26196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
w  e.  X  /\  r  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
w H r ) H A )  =  ( w H ( r H A ) ) )
64633exp2 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( w  e.  X  ->  ( r  e.  X  ->  ( A  e.  X  ->  (
( w H r ) H A )  =  ( w H ( r H A ) ) ) ) ) )
6564imp42 605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( w  e.  X  /\  r  e.  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( w H r ) H A )  =  ( w H ( r H A ) ) )
6665an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  ( w  e.  X  /\  r  e.  X
) )  ->  (
( w H r ) H A )  =  ( w H ( r H A ) ) )
674, 9, 5rngocl 26191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  w  e.  X  /\  r  e.  X )  ->  (
w H r )  e.  X )
68673expib 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( w  e.  X  /\  r  e.  X )  ->  (
w H r )  e.  X ) )
6968imdistani 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
w  e.  X  /\  r  e.  X )
)  ->  ( R  e.  RingOps  /\  ( w H r )  e.  X ) )
704, 9, 5rngocl 26191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
w H r )  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( w H r ) H A )  e.  X )
71703expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( w H r )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( (
w H r ) H A )  e.  X )
72 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w H r ) H A )  =  ( ( w H r ) H A )
73 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( w H r )  ->  (
y H A )  =  ( ( w H r ) H A ) )
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w H r )  ->  (
( ( w H r ) H A )  =  ( y H A )  <->  ( (
w H r ) H A )  =  ( ( w H r ) H A ) ) )
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w H r )  e.  X  /\  ( ( w H r ) H A )  =  ( ( w H r ) H A ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( w H r ) H A )  =  ( y H A ) )
7672, 75mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w H r )  e.  X  ->  E. y  e.  X  ( (
w H r ) H A )  =  ( y H A ) )
7776ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( w H r )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  E. y  e.  X  ( (
w H r ) H A )  =  ( y H A ) )
78 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( ( w H r ) H A )  ->  (
x  =  ( y H A )  <->  ( (
w H r ) H A )  =  ( y H A ) ) )
7978rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( ( w H r ) H A )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  ( (
w H r ) H A )  =  ( y H A ) ) )
8079elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w H r ) H A )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( (
( w H r ) H A )  e.  X  /\  E. y  e.  X  (
( w H r ) H A )  =  ( y H A ) ) )
8171, 77, 80sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( w H r )  e.  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( (
w H r ) H A )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8269, 81sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  ( w  e.  X  /\  r  e.  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( w H r ) H A )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8382an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  ( w  e.  X  /\  r  e.  X
) )  ->  (
( w H r ) H A )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8466, 83eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  ( w  e.  X  /\  r  e.  X
) )  ->  (
w H ( r H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8584anass1rs 824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  A  e.  X
)  /\  r  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
w H ( r H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8685ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  A. w  e.  X  ( w H ( r H A ) )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
8762, 86jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H ( r H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
88 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  (
u G v )  =  ( ( r H A ) G v ) )
8988eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  (
( u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( (
r H A ) G v )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
91 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  (
w H u )  =  ( w H ( r H A ) ) )
9291eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  (
( w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( w H ( r H A ) )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
9392ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  ( A. w  e.  X  ( w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  A. w  e.  X  ( w H ( r H A ) )  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
9490, 93anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( r H A )  ->  (
( A. v  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )  <->  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
( r H A ) G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H ( r H A ) )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
9587, 94syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  r  e.  X
)  ->  ( u  =  ( r H A )  ->  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
9695rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( E. r  e.  X  u  =  ( r H A )  ->  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
9796adantld 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (
( u  e.  X  /\  E. r  e.  X  u  =  ( r H A ) )  -> 
( A. v  e. 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
9826, 97syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (
u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ->  ( A. v  e.  {
x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
9998ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  A. u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) )
1003, 19, 993jca 1210 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X  /\  (GId `  G
)  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
1011, 100sylan 479 . . . 4  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X  /\  (GId `  G
)  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) )
1024, 9, 5, 6isidlc 32312 . . . . 5  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R )  <-> 
( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X  /\  (GId `  G )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) ) )
103102adantr 472 . . . 4  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R )  <-> 
( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  X  /\  (GId `  G )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. u  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  ( A. v  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  (
u G v )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. w  e.  X  (
w H u )  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } ) ) ) )
104101, 103mpbird 240 . . 3  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R ) )
105 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
1064rneqi 5067 . . . . . . . . . 10  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
1075, 106eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
108 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (GId `  H )  =  (GId
`  H )
109107, 9, 108rngo1cl 26238 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RingOps  ->  (GId `  H
)  e.  X )
110109adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (GId `  H )  e.  X
)
1119, 107, 108rngolidm 26233 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  (
(GId `  H ) H A )  =  A )
112111eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  A  =  ( (GId `  H ) H A ) )
113 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (GId `  H
)  ->  ( y H A )  =  ( (GId `  H ) H A ) )
114113eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (GId `  H
)  ->  ( A  =  ( y H A )  <->  A  =  ( (GId `  H ) H A ) ) )
115114rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( (GId `  H )  e.  X  /\  A  =  ( (GId `  H
) H A ) )  ->  E. y  e.  X  A  =  ( y H A ) )
116110, 112, 115syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  A  =  ( y H A ) )
1171, 116sylan 479 . . . . 5  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  E. y  e.  X  A  =  ( y H A ) )
118 eqeq1 2475 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  ( y H A )  <->  A  =  ( y H A ) ) )
119118rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  <->  E. y  e.  X  A  =  ( y H A ) ) )
120119elrab 3184 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( A  e.  X  /\  E. y  e.  X  A  =  ( y H A ) ) )
121105, 117, 120sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
122121snssd 4108 . . 3  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
123 snssg 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  j  <->  { A }  C_  j ) )
124123biimpar 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  { A }  C_  j
)  ->  A  e.  j )
1254, 9, 5idllmulcl 32317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( A  e.  j  /\  y  e.  X
) )  ->  (
y H A )  e.  j )
126125anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  /\  y  e.  X )  ->  (
y H A )  e.  j )
127 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y H A )  ->  (
x  e.  j  <->  ( y H A )  e.  j ) )
128126, 127syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =  ( y H A )  ->  x  e.  j )
)
129128rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  ->  x  e.  j ) )
130129adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  RingOps 
/\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  ->  x  e.  j ) )
131130ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  ->  A. x  e.  X  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  ->  x  e.  j ) )
132 rabss 3492 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j 
<-> 
A. x  e.  X  ( E. y  e.  X  x  =  ( y H A )  ->  x  e.  j ) )
133131, 132sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  j )  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j )
134133ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A  e.  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
135124, 134syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  { A }  C_  j )  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
136135expdimp 444 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  /\  A  e.  X )  ->  ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
137136an32s 821 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
138137ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  A  e.  X )  ->  A. j  e.  ( Idl `  R
) ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
1391, 138sylan 479 . . 3  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  A. j  e.  ( Idl `  R
) ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) )
140104, 122, 1393jca 1210 . 2  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R )  /\  { A }  C_ 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. j  e.  ( Idl `  R ) ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) ) )
141 snssi 4107 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
1424, 5igenval2 32363 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  { A }  C_  X )  ->  ( ( R 
IdlGen  { A } )  =  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( {
x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R )  /\  { A }  C_ 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. j  e.  ( Idl `  R ) ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) ) ) )
1431, 141, 142syl2an 485 . 2  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  (
( R  IdlGen  { A } )  =  {
x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  <->  ( {
x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  e.  ( Idl `  R )  /\  { A }  C_ 
{ x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  /\  A. j  e.  ( Idl `  R ) ( { A }  C_  j  ->  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) }  C_  j ) ) ) )
144140, 143mpbird 240 1  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  A  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { A }
)  =  { x  e.  X  |  E. y  e.  X  x  =  ( y H A ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   {csn 3959   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811  GIdcgi 25996   RingOpscrngo 26184  CRingOpsccring 32292   Idlcidl 32304    IdlGen cigen 32356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-ablo 26091  df-ass 26122  df-exid 26124  df-mgmOLD 26128  df-sgrOLD 26140  df-mndo 26147  df-rngo 26185  df-com2 26220  df-crngo 32293  df-idl 32307  df-igen 32357
This theorem is referenced by:  isfldidl  32365  ispridlc  32367
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