MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prmz 14638
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 14637 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 11046 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1889   ZZcz 10944   Primecprime 14634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-prm 14635
This theorem is referenced by:  dvdsprime  14649  prmn2uzge3  14656  exprmfct  14660  prmdvdsfz  14661  isprm5  14663  maxprmfct  14664  coprm  14669  prmrp  14670  euclemma  14677  prmdvdsexpb  14680  prmexpb  14682  prmfac1  14683  rpexp  14684  phiprmpw  14736  phiprm  14737  fermltl  14744  prmdiv  14745  prmdiveq  14746  vfermltl  14764  vfermltlALT  14765  reumodprminv  14767  modprm0  14768  oddprm  14777  pcneg  14835  pcprmpw2  14843  pcprmpw  14844  pcprod  14852  prmpwdvds  14860  prmunb  14870  prmreclem3  14874  prmreclem5  14876  1arithlem1  14879  1arithlem4  14882  1arith  14883  4sqlem11  14911  4sqlem12  14912  4sqlem13OLD  14913  4sqlem14OLD  14914  4sqlem17OLD  14917  4sqlem13  14919  4sqlem14  14920  4sqlem17  14923  prmdvdsprmo  15012  prmdvdsprmop  15013  fvprmselgcd1  15015  prmdvdsprmorOLD  15027  prmdvdsprmorpOLD  15028  prmgaplem4  15036  prmgaplem5  15037  prmgaplem6  15038  prmgaplem8  15040  pgpfi  17269  sylow2alem2  17282  sylow2blem3  17286  gexexlem  17502  ablfacrplem  17710  ablfac1lem  17713  ablfac1b  17715  ablfac1eu  17718  pgpfac1lem2  17720  pgpfac1lem3a  17721  pgpfac1lem3  17722  pgpfac1lem4  17723  ablfaclem3  17732  prmirredlem  19076  wilthlem1  24005  wilthlem2  24006  ppisval  24042  vmappw  24055  muval1  24072  dvdssqf  24077  mumullem1  24118  mumul  24120  sqff1o  24121  dvdsppwf1o  24127  musum  24132  ppiublem1  24142  ppiublem2  24143  chtublem  24151  vmasum  24156  perfect1  24168  bposlem3  24226  bposlem6  24229  lgslem1  24236  lgsval2lem  24246  lgsvalmod  24255  lgsmod  24261  lgsdirprm  24269  lgsdir  24270  lgsdilem2  24271  lgsdi  24272  lgsne0  24273  lgsqr  24286  lgseisenlem1  24289  lgseisenlem2  24290  lgseisenlem3  24291  lgseisenlem4  24292  lgseisen  24293  lgsquadlem2  24295  lgsquadlem3  24296  lgsquad2lem2  24299  m1lgs  24302  2sqlem3  24306  2sqlem4  24307  2sqlem6  24309  2sqlem8  24312  2sqblem  24317  2sqb  24318  rpvmasumlem  24337  dchrisum0flblem1  24358  dchrisum0flblem2  24359  dirith  24379  clwwlkndivn  25577  2sqmod  28421  nn0prpwlem  30990  nn0prpw  30991  prmunb2  36670  isprm7  36671  nzprmdif  36679  etransclem48OLD  38157  etransclem48  38158  oddprmALTV  38826  bgoldbst  38889  sgoldbaltlem1  38890  sgoldbaltlem2  38891  nnsum3primesprm  38895  nnsum3primesgbe  38897  nnsum4primesodd  38901  nnsum4primesoddALTV  38902  nnsum4primeseven  38905  nnsum4primesevenALTV  38906  bgoldbtbndlem2  38911  bgoldbtbndlem3  38912  bgoldbtbndlem4  38913  bgoldbtbnd  38914  ztprmneprm  40232
  Copyright terms: Public domain W3C validator