MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 13750
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 13749 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10734 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   ZZcz 10634   Primecprime 13746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-prm 13747
This theorem is referenced by:  dvdsprime  13759  coprm  13769  prmrp  13770  euclemma  13777  exprmfct  13779  isprm5  13781  maxprmfct  13782  prmdvdsexpb  13784  prmexpb  13786  prmfac1  13787  rpexp  13789  phiprmpw  13834  phiprm  13835  fermltl  13842  prmdiv  13843  prmdiveq  13844  reumodprminv  13855  modprm0  13856  oddprm  13865  pcneg  13923  pcprmpw2  13931  pcprmpw  13932  pcprod  13940  prmpwdvds  13948  prmunb  13958  prmreclem3  13962  prmreclem5  13964  1arithlem1  13967  1arithlem4  13970  1arith  13971  4sqlem11  13999  4sqlem12  14000  4sqlem13  14001  4sqlem14  14002  4sqlem17  14005  pgpfi  16084  sylow2alem2  16097  sylow2blem3  16101  gexexlem  16314  ablfacrplem  16540  ablfac1lem  16543  ablfac1b  16545  ablfac1eu  16548  pgpfac1lem2  16550  pgpfac1lem3a  16551  pgpfac1lem3  16552  pgpfac1lem4  16553  ablfaclem3  16562  prmirredlem  17759  prmirredlemOLD  17762  wilthlem1  22291  wilthlem2  22292  ppisval  22326  vmappw  22339  muval1  22356  dvdssqf  22361  mumullem1  22402  mumul  22404  sqff1o  22405  dvdsppwf1o  22411  musum  22416  ppiublem1  22426  ppiublem2  22427  chtublem  22435  vmasum  22440  perfect1  22452  bposlem3  22510  bposlem6  22513  lgslem1  22520  lgsval2lem  22530  lgsvalmod  22539  lgsmod  22545  lgsdirprm  22553  lgsdir  22554  lgsdilem2  22555  lgsdi  22556  lgsne0  22557  lgsqr  22570  lgseisenlem1  22573  lgseisenlem2  22574  lgseisenlem3  22575  lgseisenlem4  22576  lgseisen  22577  lgsquadlem2  22579  lgsquadlem3  22580  lgsquad2lem2  22583  m1lgs  22586  2sqlem3  22590  2sqlem4  22591  2sqlem6  22593  2sqlem8  22596  2sqblem  22601  2sqb  22602  rpvmasumlem  22621  dchrisum0flblem1  22642  dchrisum0flblem2  22643  dirith  22663  nn0prpwlem  28361  nn0prpw  28362  prmn2uzge3  30095  clwwlkndivn  30357  ztprmneprm  30583
  Copyright terms: Public domain W3C validator