MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 13759
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 13758 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10738 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ZZcz 10638   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-prm 13756
This theorem is referenced by:  dvdsprime  13768  coprm  13778  prmrp  13779  euclemma  13786  exprmfct  13788  isprm5  13790  maxprmfct  13791  prmdvdsexpb  13793  prmexpb  13795  prmfac1  13796  rpexp  13798  phiprmpw  13843  phiprm  13844  fermltl  13851  prmdiv  13852  prmdiveq  13853  reumodprminv  13864  modprm0  13865  oddprm  13874  pcneg  13932  pcprmpw2  13940  pcprmpw  13941  pcprod  13949  prmpwdvds  13957  prmunb  13967  prmreclem3  13971  prmreclem5  13973  1arithlem1  13976  1arithlem4  13979  1arith  13980  4sqlem11  14008  4sqlem12  14009  4sqlem13  14010  4sqlem14  14011  4sqlem17  14014  pgpfi  16095  sylow2alem2  16108  sylow2blem3  16112  gexexlem  16325  ablfacrplem  16554  ablfac1lem  16557  ablfac1b  16559  ablfac1eu  16562  pgpfac1lem2  16564  pgpfac1lem3a  16565  pgpfac1lem3  16566  pgpfac1lem4  16567  ablfaclem3  16576  prmirredlem  17892  prmirredlemOLD  17895  wilthlem1  22381  wilthlem2  22382  ppisval  22416  vmappw  22429  muval1  22446  dvdssqf  22451  mumullem1  22492  mumul  22494  sqff1o  22495  dvdsppwf1o  22501  musum  22506  ppiublem1  22516  ppiublem2  22517  chtublem  22525  vmasum  22530  perfect1  22542  bposlem3  22600  bposlem6  22603  lgslem1  22610  lgsval2lem  22620  lgsvalmod  22629  lgsmod  22635  lgsdirprm  22643  lgsdir  22644  lgsdilem2  22645  lgsdi  22646  lgsne0  22647  lgsqr  22660  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgseisen  22667  lgsquadlem2  22669  lgsquadlem3  22670  lgsquad2lem2  22673  m1lgs  22676  2sqlem3  22680  2sqlem4  22681  2sqlem6  22683  2sqlem8  22686  2sqblem  22691  2sqb  22692  rpvmasumlem  22711  dchrisum0flblem1  22732  dchrisum0flblem2  22733  dirith  22753  nn0prpwlem  28470  nn0prpw  28471  prmn2uzge3  30202  clwwlkndivn  30464  ztprmneprm  30691
  Copyright terms: Public domain W3C validator