MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 13888
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 13887 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10860 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ZZcz 10760   Primecprime 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-prm 13885
This theorem is referenced by:  dvdsprime  13897  coprm  13907  prmrp  13908  euclemma  13915  exprmfct  13917  isprm5  13919  maxprmfct  13920  prmdvdsexpb  13922  prmexpb  13924  prmfac1  13925  rpexp  13927  phiprmpw  13972  phiprm  13973  fermltl  13980  prmdiv  13981  prmdiveq  13982  reumodprminv  13993  modprm0  13994  oddprm  14003  pcneg  14061  pcprmpw2  14069  pcprmpw  14070  pcprod  14078  prmpwdvds  14086  prmunb  14096  prmreclem3  14100  prmreclem5  14102  1arithlem1  14105  1arithlem4  14108  1arith  14109  4sqlem11  14137  4sqlem12  14138  4sqlem13  14139  4sqlem14  14140  4sqlem17  14143  pgpfi  16228  sylow2alem2  16241  sylow2blem3  16245  gexexlem  16458  ablfacrplem  16691  ablfac1lem  16694  ablfac1b  16696  ablfac1eu  16699  pgpfac1lem2  16701  pgpfac1lem3a  16702  pgpfac1lem3  16703  pgpfac1lem4  16704  ablfaclem3  16713  prmirredlem  18045  prmirredlemOLD  18048  wilthlem1  22542  wilthlem2  22543  ppisval  22577  vmappw  22590  muval1  22607  dvdssqf  22612  mumullem1  22653  mumul  22655  sqff1o  22656  dvdsppwf1o  22662  musum  22667  ppiublem1  22677  ppiublem2  22678  chtublem  22686  vmasum  22691  perfect1  22703  bposlem3  22761  bposlem6  22764  lgslem1  22771  lgsval2lem  22781  lgsvalmod  22790  lgsmod  22796  lgsdirprm  22804  lgsdir  22805  lgsdilem2  22806  lgsdi  22807  lgsne0  22808  lgsqr  22821  lgseisenlem1  22824  lgseisenlem2  22825  lgseisenlem3  22826  lgseisenlem4  22827  lgseisen  22828  lgsquadlem2  22830  lgsquadlem3  22831  lgsquad2lem2  22834  m1lgs  22837  2sqlem3  22841  2sqlem4  22842  2sqlem6  22844  2sqlem8  22847  2sqblem  22852  2sqb  22853  rpvmasumlem  22872  dchrisum0flblem1  22893  dchrisum0flblem2  22894  dirith  22914  nn0prpwlem  28685  nn0prpw  28686  prmn2uzge3  30417  clwwlkndivn  30679  ztprmneprm  30907
  Copyright terms: Public domain W3C validator