MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 14079
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 14078 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10964 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ZZcz 10863   Primecprime 14075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-prm 14076
This theorem is referenced by:  dvdsprime  14088  prmn2uzge3  14095  coprm  14099  prmrp  14100  euclemma  14107  exprmfct  14109  isprm5  14111  maxprmfct  14112  prmdvdsexpb  14114  prmexpb  14116  prmfac1  14117  rpexp  14119  phiprmpw  14164  phiprm  14165  fermltl  14172  prmdiv  14173  prmdiveq  14174  reumodprminv  14187  modprm0  14188  oddprm  14197  pcneg  14255  pcprmpw2  14263  pcprmpw  14264  pcprod  14272  prmpwdvds  14280  prmunb  14290  prmreclem3  14294  prmreclem5  14296  1arithlem1  14299  1arithlem4  14302  1arith  14303  4sqlem11  14331  4sqlem12  14332  4sqlem13  14333  4sqlem14  14334  4sqlem17  14337  pgpfi  16428  sylow2alem2  16441  sylow2blem3  16445  gexexlem  16658  ablfacrplem  16915  ablfac1lem  16918  ablfac1b  16920  ablfac1eu  16923  pgpfac1lem2  16925  pgpfac1lem3a  16926  pgpfac1lem3  16927  pgpfac1lem4  16928  ablfaclem3  16937  prmirredlem  18306  prmirredlemOLD  18309  wilthlem1  23086  wilthlem2  23087  ppisval  23121  vmappw  23134  muval1  23151  dvdssqf  23156  mumullem1  23197  mumul  23199  sqff1o  23200  dvdsppwf1o  23206  musum  23211  ppiublem1  23221  ppiublem2  23222  chtublem  23230  vmasum  23235  perfect1  23247  bposlem3  23305  bposlem6  23308  lgslem1  23315  lgsval2lem  23325  lgsvalmod  23334  lgsmod  23340  lgsdirprm  23348  lgsdir  23349  lgsdilem2  23350  lgsdi  23351  lgsne0  23352  lgsqr  23365  lgseisenlem1  23368  lgseisenlem2  23369  lgseisenlem3  23370  lgseisenlem4  23371  lgseisen  23372  lgsquadlem2  23374  lgsquadlem3  23375  lgsquad2lem2  23378  m1lgs  23381  2sqlem3  23385  2sqlem4  23386  2sqlem6  23388  2sqlem8  23391  2sqblem  23396  2sqb  23397  rpvmasumlem  23416  dchrisum0flblem1  23437  dchrisum0flblem2  23438  dirith  23458  clwwlkndivn  24529  nn0prpwlem  29733  nn0prpw  29734  prmunb2  30810  isprm7  30811  nzprmdif  30840  ztprmneprm  32020
  Copyright terms: Public domain W3C validator