MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Unicode version

Theorem prmz 14203
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 14202 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnzd 10975 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ZZcz 10871   Primecprime 14199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-prm 14200
This theorem is referenced by:  dvdsprime  14212  prmn2uzge3  14219  coprm  14223  prmrp  14224  euclemma  14231  exprmfct  14233  isprm5  14235  maxprmfct  14236  prmdvdsexpb  14238  prmexpb  14240  prmfac1  14241  rpexp  14243  phiprmpw  14288  phiprm  14289  fermltl  14296  prmdiv  14297  prmdiveq  14298  reumodprminv  14311  modprm0  14312  oddprm  14321  pcneg  14379  pcprmpw2  14387  pcprmpw  14388  pcprod  14396  prmpwdvds  14404  prmunb  14414  prmreclem3  14418  prmreclem5  14420  1arithlem1  14423  1arithlem4  14426  1arith  14427  4sqlem11  14455  4sqlem12  14456  4sqlem13  14457  4sqlem14  14458  4sqlem17  14461  pgpfi  16604  sylow2alem2  16617  sylow2blem3  16621  gexexlem  16837  ablfacrplem  17095  ablfac1lem  17098  ablfac1b  17100  ablfac1eu  17103  pgpfac1lem2  17105  pgpfac1lem3a  17106  pgpfac1lem3  17107  pgpfac1lem4  17108  ablfaclem3  17117  prmirredlem  18501  prmirredlemOLD  18504  wilthlem1  23320  wilthlem2  23321  ppisval  23355  vmappw  23368  muval1  23385  dvdssqf  23390  mumullem1  23431  mumul  23433  sqff1o  23434  dvdsppwf1o  23440  musum  23445  ppiublem1  23455  ppiublem2  23456  chtublem  23464  vmasum  23469  perfect1  23481  bposlem3  23539  bposlem6  23542  lgslem1  23549  lgsval2lem  23559  lgsvalmod  23568  lgsmod  23574  lgsdirprm  23582  lgsdir  23583  lgsdilem2  23584  lgsdi  23585  lgsne0  23586  lgsqr  23599  lgseisenlem1  23602  lgseisenlem2  23603  lgseisenlem3  23604  lgseisenlem4  23605  lgseisen  23606  lgsquadlem2  23608  lgsquadlem3  23609  lgsquad2lem2  23612  m1lgs  23615  2sqlem3  23619  2sqlem4  23620  2sqlem6  23622  2sqlem8  23625  2sqblem  23630  2sqb  23631  rpvmasumlem  23650  dchrisum0flblem1  23671  dchrisum0flblem2  23672  dirith  23692  clwwlkndivn  24815  2sqmod  27614  nn0prpwlem  30116  nn0prpw  30117  prmunb2  31167  isprm7  31168  nzprmdif  31200  etransclem48  32019  ztprmneprm  32804
  Copyright terms: Public domain W3C validator