MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmunb Structured version   Unicode version

Theorem prmunb 13975
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10586 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 12061 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3 elnnuz 10897 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
4 eluzp1p1 10886 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
5 df-2 10380 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
65fveq2i 5694 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
74, 6syl6eleqr 2534 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( ! `  N )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
83, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
9 exprmfct 13796 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  N
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
102, 8, 93syl 20 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 ) )
11 prmz 13767 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
12 nn0z 10669 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
13 eluz 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  p  <_  N ) )
15 prmuz2 13781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
16 eluz2b2 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  e.  NN  /\  1  <  p ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
1918simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN )
2019nnnn0d 10636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  e.  NN0 )
21 eluznn0 10924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  N  e.  NN0 )
2220, 21sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  N  e.  NN0 )
23 nnz 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2422, 2, 233syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  ( ! `  N )  e.  ZZ )
2518simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  1  <  p )
26 dvdsfac 13588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p ) )  ->  p  ||  ( ! `  N ) )
2719, 26sylancom 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  p  ||  ( ! `  N )
)
28 ndvdsp1 13613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  ->  (
p  ||  ( ! `  N )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  ZZ  /\  p  e.  NN  /\  1  <  p )  /\  p  ||  ( ! `  N ) )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  ( ZZ>= `  p )
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
3130ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p
)  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  p )  ->  -.  p  ||  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
3314, 32sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  <_  N  ->  -.  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 ) ) )
3433con2d 115 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
3534ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  -.  p  <_  N ) )
36 nn0re 10588 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3711zred 10747 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
38 ltnle 9454 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
3936, 37, 38syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
4035, 39sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
( ! `  N
)  +  1 )  ->  N  <  p
) )
4140reximdva 2828 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( ! `  N )  +  1 )  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
) )
4210, 41mpd 15 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
431, 42syl 16 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  N  <  p
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   !cfa 12051    || cdivides 13535   Primecprime 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-prm 13764
This theorem is referenced by:  prminf  13976  nn0prpw  28518
  Copyright terms: Public domain W3C validator