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Theorem prmreclem6 14441
Description: Lemma for prmrec 14442. If the series  F was convergent, there would be some  k such that the sum starting from  k  +  1 sums to less than  1  /  2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 14440 to produce the contradictory bound  N  /  2  < 
( 2 ^ k
) sqr N, which is false for  N  =  2 ^ ( 2 k  +  2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem6  |-  -.  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables  j 
k  m  p  r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11036 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10812 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 nnrecre 10489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
5 0re 9507 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6 ifcl 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( 1  /  n ) ,  0 )  e.  RR )
74, 5, 6sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  e.  RR )
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
97, 8fmptd 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  F : NN --> RR )
109ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
111, 2, 10serfre 12039 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
1211trud 1408 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  F
) : NN --> RR
13 frn 5645 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  ran  seq 1
(  +  ,  F
)  C_  RR )
1412, 13mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  C_  RR )
15 1nn 10463 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
1612fdmi 5644 . . . . . . . 8  |-  dom  seq 1 (  +  ,  F )  =  NN
1715, 16eleqtrri 2469 . . . . . . 7  |-  1  e.  dom  seq 1 (  +  ,  F )
18 ne0i 3717 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  ->  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  F )  =  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =  (/) )
2019necon3bii 2650 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  ->  ran  seq 1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
2217, 21mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
23 1zzd 10812 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
1  e.  ZZ )
24 climdm 13379 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
2524biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
2726ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  e.  RR )
281, 23, 25, 27climrecl 13408 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
(  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) )  e.  RR )
29 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3025adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
31 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
32 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
3331, 32ifbieq1d 3880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
34 prmnn 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  Prime  ->  j  e.  NN )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  j  e.  NN )
3635nnrecred 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  j )  e.  RR )
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  -.  j  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
3836, 37ifclda 3889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
3938trud 1408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR
4039elexi 3044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e. 
_V
4133, 8, 40fvmpt 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
4241adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4544adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
46 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
4746adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
4847rpreccld 11187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  / 
j )  e.  RR+ )
4948rpge0d 11181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  (
1  /  j ) )
50 0le0 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
51 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  ( 1  /  j )  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
52 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
5351, 52ifboth 3893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  ( 1  /  j )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
5449, 50, 53sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
5554, 42breqtrrd 4393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j )
)
5655adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j
) )
571, 29, 30, 45, 56climserle 13487 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) ) )
5857ralrimiva 2796 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) )
59 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) )  -> 
( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) ) ) )
6059ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) )  -> 
( A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) ) )
6160rspcev 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x )
6228, 58, 61syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
63 ffn 5639 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN )
64 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( z  <_  x  <->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  x
) )
6564ralrn 5936 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x ) )
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
6766rexbii 2884 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
6862, 67sylibr 212 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )
69 suprcl 10419 . . . . . 6  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) 
C_  RR  /\  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7014, 22, 68, 69syl3anc 1226 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
71 2rp 11144 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
72 rpreccl 11163 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
74 ltsubrp 11171 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
7570, 73, 74sylancl 660 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
76 halfre 10671 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
77 resubcl 9796 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
7870, 76, 77sylancl 660 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
79 suprlub 10421 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  seq 1
(  +  ,  F
)  C_  RR  /\  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  /\  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )  ->  (
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1229 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8175, 80mpbid 210 . . 3  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y )
82 breq2 4371 . . . . 5  |-  ( y  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
y  <->  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
8382rexrn 5935 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( E. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
8581, 84sylib 196 . 2  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
) )
86 2re 10522 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
87 2nn 10610 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
88 nnmulcl 10475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
8987, 29, 88sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  NN )
9089peano2nnd 10469 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9190nnnn0d 10769 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )
92 reexpcl 12086 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  RR )
9386, 91, 92sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
9493ltnrd 9630 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  < 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
9529adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  k  e.  NN )
96 peano2nn 10464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
9796adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9897nnnn0d 10769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN0 )
99 nnexpcl 12082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  NN )
10087, 98, 99sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  NN )
101100nnsqcld 12232 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  e.  NN )
102101adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  NN )
103 breq1 4370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  w  ->  (
p  ||  r  <->  w  ||  r
) )
104103notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  w  ->  ( -.  p  ||  r  <->  -.  w  ||  r ) )
105104cbvralv 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r
)
106 breq2 4371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  n  ->  (
w  ||  r  <->  w  ||  n
) )
107106notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  n  ->  ( -.  w  ||  r  <->  -.  w  ||  n ) )
108107ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  n  ->  ( A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
109105, 108syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  n  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
110109cbvrabv 3033 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r }  =  {
n  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )  | 
A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  n }
111 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
112 eleq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
m  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
113 oveq2 6204 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
j ) )
114112, 113ifbieq1d 3880 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  j  ->  if ( m  e.  Prime ,  ( 1  /  m
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
115114cbvsumv 13520 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )
116 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
117115, 116syl5eqbr 4400 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
118 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )  =  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 14440 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  <  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
120119ex 432 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  <  (
( 2 ^ k
)  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
121 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )
12297nnzd 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
123 eluznn 11071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  NN )
12497, 123sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
125124, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
12639a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
127 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
12841adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
12939recni 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  CC
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
131128, 130eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1321, 97, 131iserex 13481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  seq (
k  +  1 ) (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
133127, 132mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq ( k  +  1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 13582 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
13576a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
136 elfznn 11635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
137136adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
138137, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
13929, 1syl6eleq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
141138, 139, 140fsumser 13554 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
142141, 27eqeltrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
143134, 135, 142ltadd2d 9649 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 13654 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
145 nncn 10460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
146145adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
147 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
148 pncan 9739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
149146, 147, 148sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
150149oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
151150sumeq1d 13525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
152151oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
153144, 152eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
154153breq1d 4377 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
155143, 154bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
156 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  =  seq 1
(  +  ,  F
)
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 13661 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
158157, 70eqeltrd 2470 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
159158adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
160159, 135, 142ltsubaddd 10065 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
161157adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
162161oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  -  (
1  /  2 ) )  =  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) ) )
163162, 141breq12d 4380 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <-> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
164155, 160, 1633bitr2d 281 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
165 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
168166, 146, 167adddid 9531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
16997nncnd 10468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
170 mulcom 9489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
171169, 165, 170sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
17289nncnd 10468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
173172, 167, 167addassd 9529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
1741472timesi 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
175174oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  +  ( 1  +  1 ) )
176173, 175syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
177168, 171, 1763eqtr4d 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )
178177oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  +  1 ) ) )
179 2nn0 10729 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
181166, 180, 98expmuld 12215 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
182 expp1 12076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 ) )
183165, 91, 182sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
184178, 181, 1833eqtr3d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
185184oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 ) )
186 expcl 12087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
187165, 91, 186sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
188 2ne0 10545 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
189 divcan4 10149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
190165, 188, 189mp3an23 1314 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
191187, 190syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
192185, 191eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
193 nnnn0 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
194193adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
195166, 98, 194expaddd 12214 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
1961462timesd 10698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
197196oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( k  +  k )  +  1 ) )
198146, 146, 167addassd 9529 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
199197, 198eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
200199oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) ) )
201100nnrpd 11175 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
202201rprege0d 11184 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
203 sqrtsq 13105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -> 
( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
204202, 203syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
205204oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
206195, 200, 2053eqtr4rd 2434 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
207192, 206breq12d 4380 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  < 
( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) ) )  <-> 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
208120, 164, 2073imtr3d 267 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
20994, 208mtod 177 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
210209nrexdv 2838 . 2  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  -.  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
) )
21185, 210pm2.65i 173 1  |-  -.  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    \ cdif 3386    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ...cfz 11593    seqcseq 12010   ^cexp 12069   sqrcsqrt 13068    ~~> cli 13309   sum_csu 13510    || cdvds 13988   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-pc 14363
This theorem is referenced by:  prmrec  14442
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