Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem6 Structured version   Unicode version

Theorem prmreclem6 14864
 Description: Lemma for prmrec 14865. If the series was convergent, there would be some such that the sum starting from sums to less than ; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 14863 to produce the contradictory bound , which is false for . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1
Assertion
Ref Expression
prmreclem6
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11201 . . . . . . . . 9
2 1zzd 10975 . . . . . . . . 9
3 nnrecre 10653 . . . . . . . . . . . . 13
43adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
5 0re 9650 . . . . . . . . . . . 12
6 ifcl 3953 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 6sylancl 666 . . . . . . . . . . 11
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11
97, 8fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
109ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
111, 2, 10serfre 12248 . . . . . . . 8
1211trud 1446 . . . . . . 7
13 frn 5752 . . . . . . 7
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6
15 1nn 10627 . . . . . . . 8
1612fdmi 5751 . . . . . . . 8
1715, 16eleqtrri 2506 . . . . . . 7
18 ne0i 3767 . . . . . . . 8
19 dm0rn0 5070 . . . . . . . . 9
2019necon3bii 2688 . . . . . . . 8
2118, 20sylib 199 . . . . . . 7
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6
23 1zzd 10975 . . . . . . . . 9
24 climdm 13617 . . . . . . . . . 10
2524biimpi 197 . . . . . . . . 9
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10
2726ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
281, 23, 25, 27climrecl 13646 . . . . . . . 8
29 simpr 462 . . . . . . . . . 10
3025adantr 466 . . . . . . . . . 10
31 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32ifbieq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14
34 prmnn 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635nnrecred 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3836, 37ifclda 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938trud 1446 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039elexi 3090 . . . . . . . . . . . . . 14
4133, 8, 40fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . 13
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11
4544adantlr 719 . . . . . . . . . 10
46 nnrp 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847rpreccld 11358 . . . . . . . . . . . . . 14
4948rpge0d 11352 . . . . . . . . . . . . 13
50 0le0 10706 . . . . . . . . . . . . 13
51 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
52 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52ifboth 3947 . . . . . . . . . . . . 13
5449, 50, 53sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12
5554, 42breqtrrd 4450 . . . . . . . . . . 11
5655adantlr 719 . . . . . . . . . 10
571, 29, 30, 45, 56climserle 13725 . . . . . . . . 9
5857ralrimiva 2836 . . . . . . . 8
59 breq2 4427 . . . . . . . . . 10
6059ralbidv 2861 . . . . . . . . 9
6160rspcev 3182 . . . . . . . 8
6228, 58, 61syl2anc 665 . . . . . . 7
63 ffn 5746 . . . . . . . . 9
64 breq1 4426 . . . . . . . . . 10
6564ralrn 6040 . . . . . . . . 9
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8
6766rexbii 2924 . . . . . . 7
6862, 67sylibr 215 . . . . . 6
69 suprcl 10576 . . . . . 6
7014, 22, 68, 69syl3anc 1264 . . . . 5
71 2rp 11314 . . . . . 6
72 rpreccl 11333 . . . . . 6
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5
74 ltsubrp 11342 . . . . 5
7570, 73, 74sylancl 666 . . . 4
76 halfre 10835 . . . . . 6
77 resubcl 9945 . . . . . 6
7870, 76, 77sylancl 666 . . . . 5
79 suprlub 10578 . . . . 5
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1267 . . . 4
8175, 80mpbid 213 . . 3
82 breq2 4427 . . . . 5
8382rexrn 6039 . . . 4
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3
8581, 84sylib 199 . 2
86 2re 10686 . . . . . 6
87 2nn 10774 . . . . . . . . 9
88 nnmulcl 10639 . . . . . . . . 9
8987, 29, 88sylancr 667 . . . . . . . 8
9089peano2nnd 10633 . . . . . . 7
9190nnnn0d 10932 . . . . . 6
92 reexpcl 12295 . . . . . 6
9386, 91, 92sylancr 667 . . . . 5
9493ltnrd 9776 . . . 4
9529adantr 466 . . . . . . 7
96 peano2nn 10628 . . . . . . . . . . . 12
9796adantl 467 . . . . . . . . . . 11
9897nnnn0d 10932 . . . . . . . . . 10
99 nnexpcl 12291 . . . . . . . . . 10
10087, 98, 99sylancr 667 . . . . . . . . 9
101100nnsqcld 12442 . . . . . . . 8
102101adantr 466 . . . . . . 7
103 breq1 4426 . . . . . . . . . . 11
104103notbid 295 . . . . . . . . . 10
105104cbvralv 3054 . . . . . . . . 9
106 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11
107106notbid 295 . . . . . . . . . 10
108107ralbidv 2861 . . . . . . . . 9
109105, 108syl5bb 260 . . . . . . . 8
110109cbvrabv 3079 . . . . . . 7
111 simpll 758 . . . . . . 7
112 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
113 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
114112, 113ifbieq1d 3934 . . . . . . . . 9
115114cbvsumv 13761 . . . . . . . 8
116 simpr 462 . . . . . . . 8
117115, 116syl5eqbr 4457 . . . . . . 7
118 eqid 2422 . . . . . . 7
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 14863 . . . . . 6
120119ex 435 . . . . 5
121 eqid 2422 . . . . . . . . 9
12297nnzd 11046 . . . . . . . . 9
123 eluznn 11236 . . . . . . . . . . 11
12497, 123sylan 473 . . . . . . . . . 10
125124, 41syl 17 . . . . . . . . 9
12639a1i 11 . . . . . . . . 9
127 simpl 458 . . . . . . . . . 10
12841adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
12939recni 9662 . . . . . . . . . . . . 13
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
131128, 130eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11
1321, 97, 131iserex 13719 . . . . . . . . . 10
133127, 132mpbid 213 . . . . . . . . 9
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 13825 . . . . . . . 8
13576a1i 11 . . . . . . . 8
136 elfznn 11835 . . . . . . . . . . . 12
137136adantl 467 . . . . . . . . . . 11
138137, 41syl 17 . . . . . . . . . 10
13929, 1syl6eleq 2517 . . . . . . . . . 10
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10
141138, 139, 140fsumser 13795 . . . . . . . . 9
142141, 27eqeltrd 2507 . . . . . . . 8
143134, 135, 142ltadd2d 9798 . . . . . . 7
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 13897 . . . . . . . . 9
145 nncn 10624 . . . . . . . . . . . . . 14
146145adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13
147 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . . 13
148 pncan 9888 . . . . . . . . . . . . 13
149146, 147, 148sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12
150149oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11
151150sumeq1d 13766 . . . . . . . . . 10
152151oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
153144, 152eqtrd 2463 . . . . . . . 8
154153breq1d 4433 . . . . . . 7
155143, 154bitr4d 259 . . . . . 6
156 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 13904 . . . . . . . . 9
158157, 70eqeltrd 2507 . . . . . . . 8
159158adantr 466 . . . . . . 7
160159, 135, 142ltsubaddd 10216 . . . . . 6
161157adantr 466 . . . . . . . 8
162161oveq1d 6320 . . . . . . 7
163162, 141breq12d 4436 . . . . . 6
164155, 160, 1633bitr2d 284 . . . . 5
165 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . 13
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
168166, 146, 167adddid 9674 . . . . . . . . . . 11
16997nncnd 10632 . . . . . . . . . . . 12
170 mulcom 9632 . . . . . . . . . . . 12
171169, 165, 170sylancl 666 . . . . . . . . . . 11
17289nncnd 10632 . . . . . . . . . . . . 13
173172, 167, 167addassd 9672 . . . . . . . . . . . 12
1741472timesi 10737 . . . . . . . . . . . . 13
175174oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12
176173, 175syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11
177168, 171, 1763eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10
178177oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
179 2nn0 10893 . . . . . . . . . . 11
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10
181166, 180, 98expmuld 12425 . . . . . . . . 9
182 expp1 12285 . . . . . . . . . 10
183165, 91, 182sylancr 667 . . . . . . . . 9
184178, 181, 1833eqtr3d 2471 . . . . . . . 8
185184oveq1d 6320 . . . . . . 7
186 expcl 12296 . . . . . . . . 9
187165, 91, 186sylancr 667 . . . . . . . 8
188 2ne0 10709 . . . . . . . . 9
189 divcan4 10302 . . . . . . . . 9
190165, 188, 189mp3an23 1352 . . . . . . . 8
191187, 190syl 17 . . . . . . 7
192185, 191eqtrd 2463 . . . . . 6
193 nnnn0 10883 . . . . . . . . 9
194193adantl 467 . . . . . . . 8
195166, 98, 194expaddd 12424 . . . . . . 7
1961462timesd 10862 . . . . . . . . . 10
197196oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
198146, 146, 167addassd 9672 . . . . . . . . 9
199197, 198eqtrd 2463 . . . . . . . 8
200199oveq2d 6321 . . . . . . 7
201100nnrpd 11346 . . . . . . . . . 10
202201rprege0d 11355 . . . . . . . . 9
203 sqrtsq 13333 . . . . . . . . 9
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8
205204oveq2d 6321 . . . . . . 7
206195, 200, 2053eqtr4rd 2474 . . . . . 6
207192, 206breq12d 4436 . . . . 5
208120, 164, 2073imtr3d 270 . . . 4
20994, 208mtod 180 . . 3
210209nrexdv 2878 . 2
21185, 210pm2.65i 176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 187   wa 370   wceq 1437   wtru 1438   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  crab 2775   cdif 3433   wss 3436  c0 3761  cif 3911   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cdm 4853   crn 4854   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cc 9544  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   cmul 9551   clt 9682   cle 9683   cmin 9867   cdiv 10276  cn 10616  c2 10666  cn0 10876  cuz 11166  crp 11309  cfz 11791   cseq 12219  cexp 12278  csqrt 13296   cli 13547  csu 13751   cdvds 14304  cprime 14621 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786 This theorem is referenced by:  prmrec  14865
 Copyright terms: Public domain W3C validator