MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem6 Structured version   Unicode version

Theorem prmreclem6 14864
Description: Lemma for prmrec 14865. If the series  F was convergent, there would be some  k such that the sum starting from  k  +  1 sums to less than  1  /  2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 14863 to produce the contradictory bound  N  /  2  < 
( 2 ^ k
) sqr N, which is false for  N  =  2 ^ ( 2 k  +  2 ). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem6  |-  -.  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables  j 
k  m  p  r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11201 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 nnrecre 10653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
5 0re 9650 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
6 ifcl 3953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( 1  /  n ) ,  0 )  e.  RR )
74, 5, 6sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  e.  RR )
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
97, 8fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  F : NN --> RR )
109ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
111, 2, 10serfre 12248 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
1211trud 1446 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  +  ,  F
) : NN --> RR
13 frn 5752 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  ran  seq 1
(  +  ,  F
)  C_  RR )
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  C_  RR )
15 1nn 10627 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
1612fdmi 5751 . . . . . . . 8  |-  dom  seq 1 (  +  ,  F )  =  NN
1715, 16eleqtrri 2506 . . . . . . 7  |-  1  e.  dom  seq 1 (  +  ,  F )
18 ne0i 3767 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  ->  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5070 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  F )  =  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =  (/) )
2019necon3bii 2688 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) 
<->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  dom  seq 1
(  +  ,  F
)  ->  ran  seq 1
(  +  ,  F
)  =/=  (/) )
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/) )
23 1zzd 10975 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
1  e.  ZZ )
24 climdm 13617 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
2524biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
2726ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  e.  RR )
281, 23, 25, 27climrecl 13646 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
(  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) )  e.  RR )
29 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
3025adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) ) )
31 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
32 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
3331, 32ifbieq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
34 prmnn 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  Prime  ->  j  e.  NN )
3534adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  j  e.  NN )
3635nnrecred 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  j  e. 
Prime )  ->  ( 1  /  j )  e.  RR )
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  -.  j  e.  Prime )  ->  0  e.  RR )
3836, 37ifclda 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T. 
->  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
3938trud 1446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR
4039elexi 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e. 
_V
4133, 8, 40fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
4442, 43eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4544adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
46 nnrp 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  RR+ )
4847rpreccld 11358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1  / 
j )  e.  RR+ )
4948rpge0d 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  (
1  /  j ) )
50 0le0 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
51 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  ( 1  /  j )  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
52 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  ->  (
0  <_  0  <->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) ) )
5351, 52ifboth 3947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  ( 1  /  j )  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
5449, 50, 53sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
5554, 42breqtrrd 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j )
)
5655adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  0  <_  ( F `  j
) )
571, 29, 30, 45, 56climserle 13725 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) ) )
5857ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) )
59 breq2 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) )  -> 
( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) ) ) )
6059ralbidv 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  ~~>  `  seq 1 (  +  ,  F ) )  -> 
( A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) ) )
6160rspcev 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  ~~>  `  seq 1
(  +  ,  F
) )  e.  RR  /\ 
A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  (  ~~>  ` 
seq 1 (  +  ,  F ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x )
6228, 58, 61syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
63 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  ->  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN )
64 breq1 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( z  <_  x  <->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k )  <_  x
) )
6564ralrn 6040 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( A. z  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  <_  x ) )
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
6766rexbii 2924 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1
(  +  ,  F
) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
)  <_  x )
6862, 67sylibr 215 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )
69 suprcl 10576 . . . . . 6  |-  ( ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) 
C_  RR  /\  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
7014, 22, 68, 69syl3anc 1264 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
71 2rp 11314 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
72 rpreccl 11333 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
74 ltsubrp 11342 . . . . 5  |-  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
7570, 73, 74sylancl 666 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  ) )
76 halfre 10835 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
77 resubcl 9945 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
7870, 76, 77sylancl 666 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
79 suprlub 10578 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  seq 1
(  +  ,  F
)  C_  RR  /\  ran  seq 1 (  +  ,  F )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) z  <_  x )  /\  ( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )  ->  (
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1267 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  -> 
( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y ) )
8175, 80mpbid 213 . . 3  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y )
82 breq2 4427 . . . . 5  |-  ( y  =  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
y  <->  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
8382rexrn 6039 . . . 4  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  ->  ( E. y  e. 
ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3  |-  ( E. y  e.  ran  seq 1 (  +  ,  F ) ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  y  <->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
8581, 84sylib 199 . 2  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
) )
86 2re 10686 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
87 2nn 10774 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
88 nnmulcl 10639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
8987, 29, 88sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  NN )
9089peano2nnd 10633 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
9190nnnn0d 10932 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )
92 reexpcl 12295 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  RR )
9386, 91, 92sylancr 667 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
9493ltnrd 9776 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  < 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
9529adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  k  e.  NN )
96 peano2nn 10628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
9796adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9897nnnn0d 10932 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN0 )
99 nnexpcl 12291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  NN )
10087, 98, 99sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  NN )
101100nnsqcld 12442 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  e.  NN )
102101adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  e.  NN )
103 breq1 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  w  ->  (
p  ||  r  <->  w  ||  r
) )
104103notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  w  ->  ( -.  p  ||  r  <->  -.  w  ||  r ) )
105104cbvralv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r
)
106 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  n  ->  (
w  ||  r  <->  w  ||  n
) )
107106notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  n  ->  ( -.  w  ||  r  <->  -.  w  ||  n ) )
108107ralbidv 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  n  ->  ( A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
109105, 108syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  n  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  p  ||  r  <->  A. w  e.  ( Prime  \  (
1 ... k ) )  -.  w  ||  n
) )
110109cbvrabv 3079 . . . . . . 7  |-  { r  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k
) )  -.  p  ||  r }  =  {
n  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )  | 
A. w  e.  ( Prime  \  ( 1 ... k ) )  -.  w  ||  n }
111 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
112 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
m  e.  Prime  <->  j  e.  Prime ) )
113 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
j ) )
114112, 113ifbieq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  j  ->  if ( m  e.  Prime ,  ( 1  /  m
) ,  0 )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
115114cbvsumv 13761 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )
116 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
117115, 116syl5eqbr 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  sum_ m  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( m  e. 
Prime ,  ( 1  /  m ) ,  0 )  <  (
1  /  2 ) )
118 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )  =  ( w  e.  NN  |->  { n  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  |  ( w  e.  Prime  /\  w  ||  n ) } )
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 14863 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  <  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
120119ex 435 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  <  (
( 2 ^ k
)  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
121 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )
12297nnzd 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
123 eluznn 11236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  NN )
12497, 123sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
125124, 41syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
12639a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  if (
j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
127 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
12841adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
12939recni 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  CC
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
131128, 130eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
1321, 97, 131iserex 13719 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  <->  seq (
k  +  1 ) (  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
133127, 132mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  seq ( k  +  1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 13825 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
13576a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  / 
2 )  e.  RR )
136 elfznn 11835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
137136adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
138137, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )
13929, 1syl6eleq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  CC )
141138, 139, 140fsumser 13795 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
142141, 27eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  e.  RR )
143134, 135, 142ltadd2d 9798 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 13897 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
145 nncn 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
146145adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
147 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
148 pncan 9888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
149146, 147, 148sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
150149oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
151150sumeq1d 13766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )
152151oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
153144, 152eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 ) ) )
154153breq1d 4433 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) )  <->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  sum_ j  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 ) )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
155143, 154bitr4d 259 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
156 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  =  seq 1
(  +  ,  F
)
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 13904 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
158157, 70eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
159158adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  e.  RR )
160159, 135, 142ltsubaddd 10216 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <  ( sum_ j  e.  ( 1 ... k
) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
161157adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )
)
162161oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  -  (
1  /  2 ) )  =  ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) ) )
163162, 141breq12d 4436 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sum_ j  e.  NN  if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  -  ( 1  / 
2 ) )  <  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) if ( j  e.  Prime ,  ( 1  /  j
) ,  0 )  <-> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
164155, 160, 1633bitr2d 284 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ j  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) if ( j  e. 
Prime ,  ( 1  /  j ) ,  0 )  <  (
1  /  2 )  <-> 
( sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) ) )
165 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
168166, 146, 167adddid 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
16997nncnd 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
170 mulcom 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
171169, 165, 170sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
17289nncnd 10632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
173172, 167, 167addassd 9672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
1741472timesi 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
175174oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  k )  +  ( 1  +  1 ) )
176173, 175syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
177168, 171, 1763eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  2 )  =  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )
178177oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  +  1 ) ) )
179 2nn0 10893 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
181166, 180, 98expmuld 12425 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( k  +  1 )  x.  2 ) )  =  ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
182 expp1 12285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 ) )
183165, 91, 182sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
184178, 181, 1833eqtr3d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  2 ) )
185184oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 ) )
186 expcl 12296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC )
187165, 91, 186sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
188 2ne0 10709 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
189 divcan4 10302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
190165, 188, 189mp3an23 1352 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
191187, 190syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
192185, 191eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
193 nnnn0 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
194193adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
195166, 98, 194expaddd 12424 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
1961462timesd 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
197196oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( k  +  k )  +  1 ) )
198146, 146, 167addassd 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
199197, 198eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( k  +  ( k  +  1 ) ) )
200199oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  ( k  +  1 ) ) ) )
201100nnrpd 11346 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
202201rprege0d 11355 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
203 sqrtsq 13333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -> 
( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
205204oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
206195, 200, 2053eqtr4rd 2474 . . . . . 6  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
207192, 206breq12d 4436 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ^ 2 )  /  2 )  < 
( ( 2 ^ k )  x.  ( sqr `  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ^
2 ) ) )  <-> 
( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
208120, 164, 2073imtr3d 270 . . . 4  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( sup ( ran  seq 1
(  +  ,  F
) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  /  2 ) )  <  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  k )  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
20994, 208mtod 180 . . 3  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  k  e.  NN )  ->  -.  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  ( 1  / 
2 ) )  < 
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  k ) )
210209nrexdv 2878 . 2  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ->  -.  E. k  e.  NN  ( sup ( ran  seq 1 (  +  ,  F ) ,  RR ,  <  )  -  (
1  /  2 ) )  <  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  k
) )
21185, 210pm2.65i 176 1  |-  -.  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ran crn 4854    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   ...cfz 11791    seqcseq 12219   ^cexp 12278   sqrcsqrt 13296    ~~> cli 13547   sum_csu 13751    || cdvds 14304   Primecprime 14621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-pc 14786
This theorem is referenced by:  prmrec  14865
  Copyright terms: Public domain W3C validator